規格化 LPF の基本

LPF の設計法を理解すると、残りの設計法はそれから簡単に 誘導することができるので、まず $\omega=1$ までを通過させる規格化 LPF の設計法を理解しよう。 LPF は基本的には、箱型の形状を理想とする。 つまり、ある周波数までを完全に通過させ、それ以上の周波数を完全に 阻止する。 しかし、これを有限の数の素子で構成すると、理想からずれてしまう。 それを、どれだけ理想に近付けるかが設計法の基本となる。

もっとも簡単な LPF は、よく知られた RC 回路である。 R と C の直列回路を入力に接続し、C から出力を取り出す。 低周波では C はほぼ開放であるので、入力はそのまま出力に現われる。 高周波では C はほぼ短絡となるので、出力はほとんど現われなくなる。 入力を $x$、出力を $y$ とするとき、この伝達特性は次式で与えられる。

$$y=\frac1{1+CRs}\,x$$ (6.1)

また、この回路に $\omega$ の角周波数を入れたときの伝達量の絶対値は、 $s=j\omega$ として、代入した式とその複素共役 (c.c. と表現) の積から 計算できる。

$$\left\vert\frac yx\right\vert^2=\left(\frac1{1+jCR\omega}\right) \times{\bf c.c.}=\frac1{1+(CR\omega)^2}$$ (6.2)

したがって、絶対値は次のようになる。

$$\left\vert\frac yx\right\vert=\frac1{\sqrt{1+(CR\omega)^2}}$$ (6.3)

これをグラフに書いてみると、$\omega=0$ で伝達量は 100% となり、 $\omega$ の増加とともに、徐々に値が減っていき、 $\omega=1/CR$ で $1/\sqrt2$ となり、$\infty$ で 0 となるような LPF になっていることが理解できよう。

もう少し理想的なフィルタを作るには、素子数を増し、$s$、あるいは $\omega$ の複雑な関数にするのがよい。 一般には次のような形のフィルタを構成することが多い。

$$y = \frac1{s のn次多項式}\,x$$ (6.4)

一般の回路の伝達関数には分子にも $s$ 多項式が入る可能性があるが、同じ 最大次数の多項式の組み合わせで、十分高い周波数における伝達量をなるべく 減らすには、分母のみが多項式の方が有利である。 したがって、フィルタとしては、この式の形のものしか検討しない。 この式の絶対値をとると、次の式が得られる。

$$\left\vert\frac yx\right\vert=\frac1{\sqrt{\omega^2 のn次多項式}}$$ (6.5)

$\omega^2$ の多項式となることは、$s$ の多項式に $s=j\omega$ を 代入してみれば分る。 また、当然、$\pm\omega$ に対し、対照的な形になる。

普通のフィルタの設計では、まず、この伝達関数の絶対値の式を定め、 それから、これに対応する $s$ 式を求める。 次に、これを実現する素子の配置を決定する。