チェビシェフフィルタ

チェビシェフ (Chebyshev) フィルタでは、チェビシェフ関数というものを 利用する。

$$C_n(\omega)=\begin{cases}\cos(n\cos^{-1}\omega) & \vert\omega\vert\le 1 \\ \cosh(n\cosh^{-1}\omega) & \vert\omega\vert> 1 \end{cases}$$ (6.11)

$\vert\omega\vert<=1$ に限ると、横方向に 1 回前後する間に、縦方向に $n$ 回前後する二次元振り子の描くリサージュ (Lissajou) 図形となっている。 これらの式はいずれも、$\omega=1$ で 1、$\omega=-1$ で $\pm1$ の 値をとり、その間で、丁度 $\pm1$ を上下限として $n-1$ 回波打つような $n$ 次の多項式となっている。 $\vert\omega\vert>1$ では、ひたすら $\pm\infty$ へ発散していく。

これらの式は、チェビシェフ多項式と呼ばれる $\omega$ の多項式で 表現できる。 その誘導は省略するが、結果のみを示しておく。

$$C_1(\omega) = \omega$$ (6.12)

$$C_2(\omega) = 2\omega^2-1$$ (6.13)

$$C_3(\omega) = 4\omega^3-3\omega$$ (6.14)

$$\vdots$$ (6.15)

$$C_n(\omega) = 2\omega C_{n-1}(\omega)-C_{n-2}(\omega)$$ (6.16)

これらの多項式を利用して、チェビシェフフィルタとは次のような伝達特性を 持つものとして定義される。

$$\left\vert\frac yx\right\vert=\frac1{\sqrt{1+\epsilon^2C_n(\omega)^2}}$$ (6.17)

$\vert\omega\vert\le1$ で $C_n(\omega)^2$ は 0 から 1 の範囲で波立った 変動をするので、通過域で伝達特性は最大 100%、悪くても $1/\sqrt{1+ \epsilon^2}$ 通過させる。 言うまでもなく $\epsilon$ は小さな値であり、通過域のリプルの程度を 決めるパラメータである。

一方、 $\vert\omega\vert>1$ では、少なくとも $1/\omega^n$ のペースで 減衰していくので、かなり理想的なフィルタとなる。

前述と同じ手法で、$s$ の根を求めることができる。 うまい具合に、この場合にも解析的な根が得られる。

$$s_k=-\sinh\left(\frac1n\sinh^{-1}\frac1\epsilon\right)\sin\frac{(... ...{2n} +j\cosh\left(\frac1n\sinh^{-1}\frac1\epsilon\right)cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$$ (6.18)

これらの根は、式6.10のものと極めて似た 形になっている。 前者が複素平面で円周上に並んだのと比較し、これらの根は原点を中心とする 縦長の楕円上に並ぶ。 安定根は、その左半平面に存在するものだけを採用すればよい。 なお、根の具体的な値は、色々な $n$ と $\epsilon$ に対し、 計算したものが、フィルタの各種解説書に出ているので、設計の際はそれを 利用するのがよいだろう。