HPF、BPF、BSF の伝達関数

前節で、$\omega=1$ 付近に遮断周波数を持つ LPF の伝達関数を求める 手法を示したが、$\omega_c$ 付近に遮断周波数を持つ LPF は、上記で 得られた $s$ 表示された伝達関数の $s$ を $s/\omega_c$ で 置き換えればよい。 一般に LPF の伝達関数は次のように表わされる。

$$K\frac{a_0}{s+a_0}\,\frac{b_1}{s^2+2a_1s+b_1^2}\cdots \frac{b_n}{s^2+2a_ns+b_n^2}$$ (6.19)

ここで $K$ は 1 か、1 に極めて近い係数である。 また、一次式はフィルタの次数が奇数のときにのみ表われる。 また、二次式は複素根を持つことを前提としているので、$a<b$ である。 いずれにせよ、一次もしくは二次の有理関数の積になっている。 関数はすべて $s=0$ で 1 となるし、 $s\rightarrow\infty$ で 0 となる。

同様にして、$\omega_c$ 付近に遮断周波数を持つ HPF (高域通過フィルタ) は $s$ を $\omega_c/s$ に置き換えればよい。 この結果、HPF の伝達関数は次のようになる。

$$K\frac s{s+a_0}\,\frac{s^2}{s^2+2a_1s+b_1^2}\cdots\frac{s^2}{s^2+ 2a_ns+b_n^2}$$ (6.20)

BPF (帯域通過フィルタ) については、少し詳しく説明しよう。 通過域を $\omega_l$ から $\omega_u$ としよう。 規格化 LPF は $\omega=-1$ から $\omega=1$ までを通す BPF とも 理解できるので、-1 を $\omega_l$ に 1 を $\omega_u$ に変換する 簡単な関数を探せばよい。 変換式として次の関数を採用してみよう。

$$\omega'=A\omega-\frac B\omega$$ (6.21)

ここで、$\omega'$ は規格化 LPF の周波数である。 前述の対応関係より次の二式が得られる。

$$-1 = A\omega_l-\frac B\omega_l$$ (6.22)

$$1 = A\omega_u-\frac B\omega_u$$ (6.23)

この関係から、$A$、$B$ を求めることができる。

$$A = \frac1{\omega_u-\omega_l}$$ (6.24)

$$B = \frac{\omega_u\omega_l}{\omega_u-\omega_l}$$ (6.25)

これら、$A$、$B$ を用いると所望の変換が完成する。 変換式の $\omega$ を $s/j$ に置き換えると $s$ の変換式が得られる。 つまり規格化 LPF の $s$ を $As+B/s$ とすればよい。 この結果、BPF の伝達関数は次のようになる。

$$K\frac{2a_1s}{s^2+2a_1s+b_1^2}\cdots\frac{2a_ns}{s^2+2a_ns+b_n^2}$$ (6.26)

BSF (帯域阻止フィルタ) は、$s$ として上記の逆数をとればよいので、$s$ を $1/(As+B/s)$ に置き換える。 この結果、BSF の伝達関数は次のようになる。

$$K\frac{s^2+b_1^2}{s^2+2a_1s+b_1^2}\cdots\frac{s^2+b_n}{s^2+2a_ns+... ...left(1-\frac{2a_1s}{s^2+2a_1s+b_1^2}\cdots \frac{2a_ns}{s^2+2a_ns+b_n^2}\right)$$ (6.27)