フィルタ回路の実現

フィルタ回路は L、C、R のみを使うだけで実現できる。 さらに、理想的な素子の得難い L を除外して C、R のみでも実現できる。 しかし、現在は演算増幅器を利用して設計する方が一般的である。 それは $s$ の複雑な関数が実現しやすいからである。 特に前節で見られるように、伝達関数がいくつかの関数の積で 与えらえるときに、それを演算増幅器の縦列接続で簡単に実現できるという 特徴を持っている。 そこで、本節では演算増幅器の縦列接続によるフィルタの実現法について 述べる。

前節の有理関数の積で与えられた伝達関数は、それぞれの有理関数を実現する 増幅器の縦列接続で実現できるので、各段の設計法について述べる。

Figure 6.1: 二次の多重帰還増幅器

図6.1のように、帰還型の反転増幅器の前にさらに帰還をかけた 多重帰還増幅器(MFB: multiple feedback type active filter) を考える。

この回路の応答は次のように各ノードに入ってくる電流の総和が 0 の条件より 簡単に求めることができる。

$$Y'_iV_i+Y'_fV_o = (Y'_i+Y'_f+Y_g+Y_i)V$$ (6.28)

$$Y_iV+Y_fV_o =$$ 0 (6.29)

これより伝達関数が得られる。

$$-\frac{Y'_iY_i}{(Y'_i+Y'_f+Y_g+Y_i)Y_f+Y_iY_f'}$$ (6.30)

一次関数は $Y_i\rightarrow\infty$、$Y_g=0$ として実現できる。 つまり、一段の単純な帰還増幅器である。

$$-\frac{Y'_i}{Y_f+Y_f'}$$ (6.31)

各一次もしくは二次関数の実現法を以下にまとめる。 これで、所望の関数が実現できるかは、上式に各値を代入することで、 確認できよう。

$$-K\frac a{s+a} : Y_i\rightarrow\infty, Y_g=0,\ Y_f=Cs,\ Y'_f=G=aC,\ Y'_i=KG$$ (6.32)

$$-K\frac s{s+a} : Y_i\rightarrow\infty,\ Y_g=0,\ Y_f=Cs,\ Y'_f=G=aC,\ Y'_i=KCs$$ (6.33)

$$-\frac{b^2}{s^2+2as+b^2} : Y_f=Cs,\ Y'_f=G=\frac{b^2}aC,\ Y'_i=KG,\ Y_i=(K+1)G,$$

$$Y_g=(K+1)\left(\frac ba\right)^2Cs$$ (6.34)

$$-\frac{Ks^2}{s^2+2as+b^2} : Y_i=Y'_i=Cs,\ Y'_f=\frac1KCs,\ Y_f=\frac a{K+1/2}C,$$

$$Y_g=\frac{b^2(K+1/2)}{aK}C$$ (6.35)

これにより、LPF、HPF、BPF の構成できることは直ぐに理解できよう。 BSF だけは、上記の手法を使うよりは、BPF を利用して構成する方が 簡単である。 $BSF=1-BPF$ を利用する。 つまり、$V_i$ を BPF に通した負の出力と、生の $V_i$ を加算器で 加算すればよい。