線形微分方程式

工学では、よく線形システム(linear system)を議論する。 実際、対象として線形システムが多いこともあるし、非線形システムには 一般的に適用できる理論がないこともあって線形システムを近似にして 議論することが多いといった背景がある。 $LCR$ で構成される回路や、多くの代表的な力学の運動は線形 システムになっており、定数係数をもつ微分方程式で表現される。

線形システムとは微分方程式が与えられた場合に、その解の定数倍も 解になること、いくつかの解がある場合には、その和も解になるような システムである。 定数倍したものの和を線形結合と呼ぶ。 こうした線形システムの微分方程式は変数の多階の時間微分を線形結合した 形になっている。

$$a_0\frac{d^ny(t)}{dt^n}+\cdots+a_{n-1}\frac{dy(t)}{dt}+a_ny(t) =b_0\frac{d^mx(t)}{dt^m}+\cdots+b_{m-1}\frac{dx(t)}{dt}+a_mx(t)$$ (1.1)

この式で $x(t)$ は入力であり、$y(t)$ は出力である。 この形の微分方程式は、定数係数をもつ線形微分方程式(linear differential equation)と呼ばれる。 例えば、外力 $x(t)$ が加わっているときの振り子の位置 $y(t)$ は、 振り幅が余り大きくないときには次式で与えらえることが知られている。

$$m\frac{d^2y(t)}{dt^2}+\mu\frac{dy(t)}{dt}+ky(t)=x(t)$$ (1.2)