交流に対する定常解

交流理論では、定常解だけを議論する。 つまり、$\exp(st)$ の $s=j\omega$ の場合を考えればよい。 このことから、あらゆる入出力関係は、伝達関数の $s=j\omega$ と置いたもので表現できる。

例えば、キャパシタンスに流れ込む電流を入力 $x(t)$ とし、両端の電圧を 出力 $y(t)$ と考えよう。

$$y(t)=\frac1C\int dt\,x(t)$$ (2.1)

である。 この両辺を時間で微分すると、微分方程式が得られる。

$$\frac{dy(t)}{dt}=\frac1C\,x(t)$$ (2.2)

ここで、$\exp(st)$ なる解を仮定すると、この式は次のようになる。

$$sy=\frac1C\,x$$ (2.3)

あるいは

$$y=\frac1{Cs}\,x$$ (2.4)

つまり、キャパシタンス(capacitance)は $1/Cs$ の伝達関数を持つ。 あるいは $s=j\omega$ として、 $1/j\omega C$ の伝達関数を持つと 言える。 このように二端子素子の電流を入力とし、電圧を出力とする場合には、その 伝達関数は特にインピーダンス (交流における抵抗) と呼び、直流回路における 抵抗のように扱うことができる。

もう一つ例を上げておこう。 $CR$ の直列回路の両端に入力 $x(t)$ を与え、$C$ の両端から出力 $y(t)$ をとる。 この直列回路に流れる電流を $i(t)$ とすると

$$x(t) = Ri(t)+\frac1C\int dt\,i(t)$$ (2.5)

$$y(t) = \frac1C\int dt\,i(t)$$ (2.6)

まず、全体を微分し、 $d/dt\rightarrow s$ とし、両辺を $s$ で割る。 つまり、 $\int dt\rightarrow 1/s$ とするのと同じである。 この結果、

$$x = Ri+\frac1{Cs}\,i$$ (2.7)

$$y = \frac1{Cs}\,i$$ (2.8)

が得られる。 こうなると、$s$ も定数なので、$1/Cs$ がキャパシタンスの インピーダンス特性だと思って、抵抗のように扱ってまったく問題のないことが 理解できよう。 $i$ を消去することで、伝達関数が得られる。

$$y=\frac1{1+CRs}\,x$$ (2.9)

また、この回路に $\omega$ の角周波数を入れたときの、伝達量は $s=j\omega$ とすることで計算できる。

$$y=\frac1{1+j\omega CR}\,x$$ (2.10)