EOR回路と加算器

Figure 4.1: EORの真理値表

2入力1出力の論理回路で，ORとほぼ同じであるが， 2入力とも1のときには0となる回路を排他的論理和（exclusive OR）またはEORと言う。 あるいは，二つの入力が異なるときだけ1を出力する回路と言ってもよく， 図 4.1に示す真理値表で表すことができる。

これは，片方を制御信号とみなし， もう片方の入力から出力へ出ていく信号を制御する回路と見ることもできる。 その場合，制御信号が0であると，主回路の信号はそのまま伝わっていくが， 制御信号が1であると，主回路の信号は否定されて出力される。

やや天下りであるが， EORは

$$A\oplus B=\mathop{\rm OR}\nolimits (\mathop{\rm AND}\nolimits (A,\overline B),\mathop{\rm AND}\nolimits (\overline A,B))$$ (4.1)

の式で実現できる。 あるいは

$$A\oplus B=\mathop{\rm NAND}\nolimits (\mathop{\rm NAND}\nolimits (A,\overline B),\mathop{\rm NAND}\nolimits (\overline A,B))$$ (4.2)

と書くこともできる。 これらの式を論理的に導くこともできるが，その詳細は次章を参照して欲しい。

問題4

上に示した二つの式を$A$と$B$に0，1を順次入れていくことで，確かめよ。

問題5

二つの式を（論理）回路図にしてみよ。

Figure 4.2: 半加算器の真理値表

2入力の算術和（arithmetic additon）を得る回路を半加算器（half adder）と言う。 真理値表で表すと，図 4.2のようになる。 $A$と$B$の算術和の0bit目を$S$，1bit目を$C_o$^4.1と表した。 真理値表からわかるように$S=A\oplus B$，$C_o=A\cdot B$である。

問題6

半加算器を（論理）回路図一つにまとめてみよ。

複数桁の加算を行おうとすると，$C_o$は次の桁への繰り上げ， キャリー（carry）となる。 また，各桁では，下の桁からのキャリー$C_i$^4.2が入ってくるので， $A+B$ではなく，$A+B+C_i$の計算を行わなければならない。 $A+B+C_i=(A+B)+C_i$であるので，$S$を得るには，$A$，$B$からなる 半加算器の出力の後ろに$C_i$との半加算器をつければよい。 キャリー$C_o$は，$A+B$にキャリーがあれば，当然1となるし， さらに$A+B$の1桁目と$C_i$の和に繰り上げがあれば当然1となるので， これらのORをとればよいことになる。 これを全加算器（full adder）と言う。

問題7

全加算器を式でなく（論理）回路図に書いてみよう。