縦固有ベクトルと横固有ベクトル

以下に示すように、実対称行列では、固有値は実数、その固有値に対応する固有 縦ベクトルと固有横ベクトルは互いに転置の関係になる。また、Hermite 行列で は、固有値は実数、その固有値に対応する固有縦ベクトルと固有横ベクトルは互 いに転置で複素共役の関係になる。つまり、固有縦ベクトルを $\left\vert a\right\rangle$ とする とき、固有横ベクトルは、実対称行列の場合 $\left\vert a\right\rangle ^T$、Hermite 行列の場合、 $\left\vert a\right\rangle ^\dag$ と書ける。しかし、一般の行列では、固有横ベクトルが固有縦ベ クトルの簡単な形で表わされることは極めて少ない。

固有値問題とは

$$\widehat{A}\left\vert a\right\rangle =a\left\vert a\right\rangle$$ (7)

または

$$\left\langle a\right\vert\widehat{A}=\left\langle a\right\vert a$$ (8)

を満す $a$ および $\left\vert a\right\rangle$ または $\left\langle a\right\vert$ を求めることである。ただし、 $\left\langle a\right\vert a$ は $a\left\langle a\right\vert$ と同じ意味である。

まず、 $\left\vert a\right\rangle$ を求めてみよう。通常、上記の問題は、右辺を移項し

$$(\widehat{A}-a\widehat{I})\left\vert a\right\rangle =\left\vert\right\rangle$$ (9)

からスタートする。ゼロベクトル以外の縦ベクトル解が得られるためには、左辺 の ( ) 内の行列のランクは行列の次数 $n$ より低くなれればいけない。このた め、

$$\Det{\widehat{A}-a\widehat{I}}=0$$ (10)

が成立するはずである。これから固有値 $a$ が求まる。

一般に、固有値の方程式は $n$ 次の方程式になるので、得られる固有値の総数 は行列の次数 $n$ となる。ただし、重根はありうる。固有値一つ一つに対し、 式 9 の ( ) 内の行列のランクが $n$ より少ないことから、 ゼロベクトルでない固有縦ベクトル $\left\vert a\right\rangle$ が必ず得られる。

また同様にして、ゼロベクトルでない固有横ベクトル $\left\langle a\right\vert$ を求めることが できる。

[例 1] 例えば、 $\widehat{A}=\mat{0 & 2 \cr 1/2 & 0}$ の場合、固有値は $a=1, -1$ の二つになる。$a=a_1=1$ に対しては $\widehat{A}-a_1\widehat{I}=\mat{-1 & 2 \cr 1/2 & -1}$ より、 $\left\langle a_1\right\vert=\alpha\mat{1/2 & 1}$ と $$\left\vert a_1\right\rangle =\frac1\alpha\mat{1 \cr 1/2}$$ が得られる。 $a=a_2=-1$ に対しては $\widehat{A}-a_2\widehat{I}=\mat{1 & 2 \cr 1/2 & 1}$ より、 $\left\langle a_2\right\vert=\beta\mat{1/2 & -1}$ と $$\left\vert a_2\right\rangle =\frac1\beta\mat{1 \cr -1/2}$$ が得られる。

なお、係数は正規性が成立するように調整してある。また、これらのベクトルの 間に直交条件が成立していることは容易に確かめられよう。ここで注意して欲し いのは、 $\left\langle a_1\right\vert$ と $\left\vert a_1\right\rangle$ の間には単なる転置とか共役のような簡 単な関係が成立していないことである。また、 $\left\vert a_1\right\rangle$ と $\left\vert a_2\right\rangle$ の 間にも特別な関係は成立しない。成立するのは、異なる固有値に属する固有縦ベ クトルと固有横ベクトルの直交関係だけなのである。このように、一般の行列の 解ベクトルは、固有縦ベクトルと固有横ベクトルを別途求める必要がある。

$\widehat{A}$ が対称行列の場合は式 7 を転置してみると $\widehat{A}^T=\widehat{A}$ であるから

$$\left\vert a\right\rangle ^T\widehat{A}=\left\vert a\right\rangle ^Ta$$ (11)

となる。これを、式 8 と比較してみると、 $\left\vert a\right\rangle ^T$ が固有 横ベクトル $\left\langle a\right\vert$ として利用できる、つまり

$$\left\langle a\right\vert=\left\vert a\right\rangle ^T$$ (12)

としてよいことがわかる。

同様に Hermite 行列の場合は、式 7 の転置複素共役をとるこ とにより、 $\widehat{A}^\dag =\widehat{A}$ であるから

$$\left\vert a\right\rangle ^\dag\widehat{A}=\left\vert a\right\rangle ^\dag a^*$$ (13)

となる。これを、式 8 と比較してみると、$a=a^*$ で、かつ $\left\vert a\right\rangle ^\dag$ が固有横ベクトル $\left\langle a\right\vert$ として利用できる、つまり

$$\left\langle a\right\vert=\left\vert a\right\rangle ^\dag$$ (14)

としてよいことが導かれる。

さらに Unitary 行列の場合は、式 7 の転置複素共役をとり、 左右を入れ換えると、

$$\left\vert a\right\rangle ^\dag a*=\left\vert a\right\rangle ^\dag\widehat{A}^\dag$$ (15)

これに右から $\widehat{A}$ を掛け、 $\widehat{A}^\dag\widehat{A}=\widehat{I}$ を利用すると

$$\left\vert a\right\rangle ^\dag\widehat{A}=\left\vert a\right\rangle ^\dag (1/a^*)$$ (16)

となる。これを、式 8 と比較してみると、$a=1/a^*$ で、か つ $\left\vert a\right\rangle ^\dag$ が固有横ベクトル $\left\langle a\right\vert$ として利用できる、つまり

$$\left\langle a\right\vert=\left\vert a\right\rangle ^\dag$$ (17)

としてよいことが導かれる。

例に示したように、一般の行列では、 $\left\vert a\right\rangle$ と $\left\langle a\right\vert$ は特別な数的関係 を持たないが、直交性は成立する。これを、一般的に証明することができる。今、 固有値に番号を付け、 $a_1, a_2, \dots, a_n$ とするとき、それぞれの固有縦 ベクトルを $\left\vert a_1\right\rangle , \dots$、固有横ベクトルを $\left\langle a_1\right\vert, \dots$ としよ う。

$$\widehat{A}\left\vert a_i\right\rangle =a_i\left\vert a_i\r... ...gle a_i\right\vert\widehat{A}=\left\langle a_i\right\vert a_i$$ (18)

$$\widehat{A}\left\vert a_j\right\rangle =a_j\left\vert a_j\r... ...gle a_j\right\vert\widehat{A}=\left\langle a_j\right\vert a_j$$ (19)

式 18 の右式に右から $\left\vert a_j\right\rangle$ を掛けた式と、式 19 の左 式に左から $\left\langle a_i\right\vert$ を掛けた式を比較すると、左辺はまったく等しいから、 右辺同士が等しくなる。

$$a_i\ave{\left.a_i\right\vert a_j}=a_j\ave{\left.a_i\right\vert a_j}$$ (20)

したがって、移項すると $a_i\neq a_j$ のとき、つまり $i\neq j$ のとき、次 式が成立することがわかる。

$$\ave{\left.a_i\right\vert a_j} \hspace{5em} \mbox{for $i\neq j$}$$ (21)

これは直交条件である。残る一つの内積 $\ave{\left.a_i\right\vert a_i}$ は、ベクトルの 独立性から、当然 0 でないので、これを正規化すれば正規直交条件が成立する。

もう一つ以後の作業に便利な式を誘導しておこう。正規直交性より

$$\mat{\left\langle a_1\right\vert \cr \left\langle a_2\right... ...2\right\rangle \dots \left\vert a_n\right\rangle }=\widehat{I}$$ (22)

であるから、左辺の左の行列と右の行列は互いに逆行列の関係にある。つまり、

$$\widehat{P}=\mat{\left\vert a_1\right\rangle \left\vert a_2\right\rangle \dots \left\vert a_n\right\rangle }$$ (23)

とすると、

$$\widehat{P}^{-1}=\mat{\left\langle a_1\right\vert \cr \left\langle a_2\right\vert \cr \dots \cr \left\langle a_n\right\vert}$$ (24)

と書ける。

$$\widehat{P}^{-1}\widehat{P}=\widehat{P}\widehat{P}^{-1}=\widehat{I}$$ (25)

であるから、左辺の左右の行列を入れ替えても良い。つまり、

$$\sum_i\left\vert a_i\right\rangle \left\langle a_i\right\vert=\widehat{I}$$ (26)

という関係が得られる。この関係は完備性と呼ばれる。

この関係を行列 $\widehat{A}$ の右側に挿入すると

$$\widehat{A}=\sum_i\widehat{A}\left\vert a_i\right\rangle \l... ..._i\left\vert a_i\right\rangle a_i\left\langle a_i\right\vert$$ (27)

と表現できる。つまり、固有値と固有ベクトルが与えられている場合、それから 逆に行列を生成できる。

[例 2] 固有値と固有ベクトルが勝手に与えられている場合、それを解に持つよ うな行列を作ってみよう。$a_1=1$、$a_2=0$ とし、 $\left\vert a_1\right\rangle =\mat{1 \cr 2}$、 $\left\vert a_2\right\rangle =\mat{3 \cr 4}$ としてみよう。 $\ave{\left.a_1\right\vert a_2}=0$ より $\left\langle a_1\right\vert=\alpha\mat{4 & -3}$、正規化を考えると $\alpha=-1/2$ となる。 同様に $\left\langle a_2\right\vert=\beta\mat{2 & -1}$、正規化を考えると $\beta=1/2$ とな る。これらを固有解とする行列は式 27 で表現できるから、

$$\widehat{A}=1\mat{-2 & 3/2 \cr -4 & 3}+0\mat{3 & -3/2 \cr 4 & -2} =\mat{-2 & 3/2 \cr -4 & 3}$$ (28)

が得られる。


同様に、 $\left\langle a_1\right\vert$ と $\left\vert a_1\right\rangle$ が自由に与えられているときの行列も簡 単に求めることができる。

また、

• 固有値が実数、固有ベクトルが互いに転置の関係にあると対称行列
• 固有値が$\pm1$、固有ベクトルが互いに転置の関係にあると直交行列
• 固有値が実数、固有ベクトルが互いに転置複素共役の関係にあると Hermite 行列
• 固有値が長さ 1 の複素数、固有ベクトルが互いに転置複素共役の関係に あると Unitary 行列

になることが簡単に証明できる。