停留値問題

次式の極値を求める問題を、行列の停留値問題という。

$$\left\langle f\right\vert\widehat{A}\left\vert f\right\rangle$$ (42)

この値は $\left\vert f\right\rangle$ の絶対値を小さくすれば、いくらでも小さくできるので、

$$\ave{\left.f\right\vert f}$$ (43)

の値を一定という条件での極値である。あるいは、同じことを

$$\frac{\left\langle f\right\vert\widehat{A}\left\vert f\right\rangle }{\ave{\left.f\right\vert f}}$$ (44)

の停留値を求めると言う表現をとることもある。

条件付きの極値問題を解くには、前半の表現に対し、Lagrange の方法を利用す るのが一般的である。これは

$$I=\left\langle f\right\vert\widehat{A}\left\vert f\right\rangle -\lambda\ave{\left.f\right\vert f}$$ (45)

として、$f$ を微小変更したとき $\delta I$ が変化しない条件を求めればよい。

$$\delta I=\left\langle\delta f\right\vert\widehat{A}\left\ve... ...\delta f\right\rangle -\lambda\ave{\left.f\right\vert\delta f}$$ (46)

この式から直ちに、次の二式が誘導できる。

$$\widehat{A}\left\vert f\right\rangle -\lambda\left\vert f\right\rangle = 0$$ (47)

$$\left\langle f\right\vert\widehat{A}-\lambda\left\langle f\right\vert = 0$$ (48)

これらを見ると、$\lambda$ を固有値とする縦固有値問題と横固有値問題になっ ているのが、見てとれよう。つまり停留値問題の答は、固有値問題の答と一致す る。

三次元の行列では、この作業の結果 $ax^2+by^2+cz^2$ のような式が得られる。 これは座標軸の方に軸を持つ楕円体である。もし $a>b>c>0$ であったとすると、 $x$軸方向に長く、$z$軸方向に扁平な楕円体となる。 $\pmatrix{\pm1 & 0 & 0}$ は最大値を与え、 $\pmatrix{0 & 0 & \pm1}$ は最小値を与える。 $\pmatrix{0 & \pm1 & 0}$ は原点から見るとやはり垂直な面を構成しているが、前者よりは小 さく、後者よりは大きい、つまり最大とか最小といった極ではない。こうした点 を停留といい、二次元の楕円では発生しない状態である。本節でなぜ停留値問題 といって極値問題といわなかったかが理解できよう。