ファインマンの作用反作用のパラドックス

電磁気学では、電磁場が運動量（ポインティングベクトル/$c^2$）を持ったり、 エネルギーを蓄積したりするので、そのことを考慮しなければならない。 作用反作用の法則は、質点と電磁場の間に成立し、一方、 電磁場に働くすべての力の合力は、電磁場の運動量を増加させることになる。 したがって、質点に働く力と電磁場の運動量の増加率の総和は0となれば、 矛盾はないことになる。

$yz$面に拡がる二枚の電荷シートの場合、#1の電荷の移動による磁場は、 変位電流も含めて全電流 $J_x+\varepsilon_0\partial E_x/\partial t$が至るところ0になることに注意されたい。 実は#1の電荷$Q$が$-\infty$の空間から$\infty$にまで移動する走行 時間を$\tau$とすると、全電流は$Q/\tau$となるが、 この値は限りなく小さくなる。

点電荷の場合、厳密なポインティングベクトルの計算は面倒なので、 およそどこにポインティングベクトルが発生するかを調べてみよう。 点電荷の場合も全電流は大局的にはほぼ0である。 しかし、 移動電荷のところに微小電流源を置いた場合のような局所的な全電流が流れ、 この全電流はビオ・サバール型の磁場を発生する。

#1の発生する電磁場を $\boldsymbol{E}_1$、 $\boldsymbol{B}_1$、 #2の方を $\boldsymbol{E}_2$、 $\boldsymbol{B}_2$とするとき、 ポインティングベクトルは $(\boldsymbol{E}_1\times\boldsymbol{B}_1+\boldsymbol{E}_1\times\boldsymbol{B}_2... ...symbol{E}_2\times\boldsymbol{B}_1+\boldsymbol{E}_2\times\boldsymbol{B}_2)/\mu_0$であるが、 第1項と第4項のような自身の電場と磁場の積は、 時間に依存せず一定なので無視してよい。 第2項と第3項の交差項のみ考慮の対象とせよ。