最小作用の法則とは次のようなものである。
今、ラグランジアン
に関する次の積分を考える。
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(A.33) |
さて、ここから軌跡を
と僅かに動かしてみる。
すると作用も僅かに変化する。
ここで、重大な事実が存在する。
この作用が停留する、
つまり軌道を僅かに変えても作用がほとんど変らないときには、
その軌道は運動方程式を満す。
また、逆に運動方程式を満す軌道の周辺で、軌道を僅かに変えても、
作用は停留するというものである。
本書では説明を省くが、停留といっても最小値になるので、
最小作用の原理(principle of minimum action)と呼ぶ。
作用が停留するときに、軌道が運動方程式を満すことは次のように証明できる。
質点がある軌跡から少しずれた軌跡
をとると、
軌跡の移動に伴なって各点での速度も
と変化する。
したがって、ずれた軌道での作用と元の軌道の作用の差は次のようになる。
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(A.34) |
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(A.35) |