滑車の例

ここでちょっと例を上げておこう。 天井に一端を固定された紐を動滑車、静滑車を経由し、$m_1$ の質量で終端する。 動滑車には $m_2$ なる質量がぶら下っているとする。 二つの質点の高さを $x_1$、$x_2$ としよう。 すると $x_1+2x_2=$const なる束縛条件が成立する。 高さの原点を適切に選ぶことにより、この右辺を 0 に調整しよう。

直前に示した方法で、束縛力を求めてみよう。 ラグランジアンは次のようになる。

$$L=\frac12(m_1\dot x_1^2+m_2\dot x_2^2)-g(m_1x_1+m_2x_2) +\lambda(x_1+2x_2)$$ (A.36)

これを $x_1$、$x_2$、$\lambda$ の三変数の関数としてラグランジュの運動方程式を立てると次のようになる。

$$m_1\ddot x_1=-m_1g+\lambda$$

$$m_2\ddot x_2=-m_2g+2\lambda$$

$$x_1+2x_2=0$$ (A.37)

これらの式から $x_1$ と $\lambda$ を消去すると次の式が得られる。

$$(4m_1+m_2)\ddot x_2=-(m_2-2m_1)g$$ (A.38)

ちなみに、この式は $x_2$ を唯一の一般座標とし、$x_1=-2x_2$ であることを考慮して束縛条件の入らないラグランジアンを求める。

$$L=\frac12(4m_1\dot x_2^2+m_2\dot x_2^2)-g(-2m_1x_2+m_2x_2)$$ (A.39)

これをラグランジュの運動方程式に代入して得られるニュートンの運動方程式と まったく一致する。 このニュートンの方程式を解くと、重力が $-[(m_2-2m_1)/(4m_1+m_2)]g$ になったときの運動と一致する。

再び、A.37式へ戻ろう。 $x_2$ の満すべき式がわかると、第3式を用いて、$x_1$ の満すべき式がわかる。

$$(4m_1+m_2)\ddot x_1=2(m_2-2m_1)g$$ (A.40)

さらに、これらを第1または2式に代入すると $\lambda$ に関する式が誘導できる。

$$\lambda=\frac{3m_1m_2}{4m_1+m_2}g$$ (A.41)

これらから、束縛力は次のように得られる。

$$R_1=\lambda\D{x_1+2x_2}{x_1}=\frac{3m_1m_2}{4m_1+m_2}g$$

$$R_2=\lambda\D{x_1+2x_2}{x_2}=2\frac{3m_1m_2}{4m_1+m_2}g$$ (A.42)

つまり、$m_1$、$m_2$ は、紐によりこれらの力で上向きに引かれることになる。 $R_2$ が二倍なのは、紐が二本あるからである。