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次式で与えられるローレンツ力は位置だけでなく、速度にも依存する量である。
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(A.43) |
したがっていわゆる保存力ではなく、ポテンシャル表示はできない。
しかし、ラグランジアンでは表示できるという面白い力である。
まず成分展開し、ポテンシャルで表示しておこう。
成分は次のようになる。
ただし、
は次で定義されているとする。
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(A.45) |
他の成分についても同様な形となるので、ラグランジアンは次のようになる。
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(A.46) |
逆にこれを解くには、まず一般化運動量を求める。
成分に着目すると
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(A.47) |
が得られる。
これから運動方程式は
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(A.48) |
に代入して、
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(A.49) |
が得られる。
左辺第二項以降を右辺に移項し、整理するとローレンツ力の
成分が得られる。
また、相対論的速度の場合には
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(A.50) |
と修正すればよいので、次式のラグランジアンでよい。
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(A.51) |
さらに、
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(A.52) |
として、
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(A.53) |
なる停留問題にすることもできる。
ただし、
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(A.54) |
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Yoichi OKABE
2008-03-29