共変微分とクリストッフェル記号

スカラー関数の空間微分は共変ベクトルであるが、 共変ベクトルの空間微分は、特殊相対性理論では共変テンソルであったが、 一般には共変テンソルにはならない。

$$\partial_\mu b_\nu = \partial_\mu(\alpha_\nu^ib_i)$$

$$= \alpha_\nu^i(\partial_\mu b_i) +(\partial_\mu\alpha_\nu^i)b_i$$

$$= \alpha_\nu^i\alpha_\mu^j\partial_jb_i +(\partial_\mu\partial_\nu x^i)b_i$$

この第一項だけならば共変テンソルであるが、 第二項があるためにうまくいかないのである。

そこで、この第二項をあらかじめ補正しておけばよい。 上式の第二項を次のように書き換える。

$$(\partial_\mu\partial_\nu x^i)b_i =(\partial_\mu\partial_\nu x^i)\alpha_i^\lambda b_\lambda =\Gamma_{\mu\nu}^\lambda b_\lambda$$ (C.53)

ここで、 $\Gamma_{\mu\nu}^\lambda$ は複雑な微分の式をまとめたもので、 クリストッフェル記号（Christffel symbol）という。

$$\Gamma_{\mu\nu}^\lambda =(\partial_\mu\partial_\nu x^i)\alpha_i^\lambda$$ (C.54)

この第二項を左辺へ移項し、かつ $x^i$ をデカルト座標としよう。 すると、空間微分に近い次式で定義される式は共変行列となることが理解できる。

$$\Delta_\mu b_\nu=\partial_\mu b_\nu -\Gamma_{\mu\nu}^\lambda b_\lambda$$ (C.55)

これを共変微分（covariant derivative）と呼ぶ。

同様に、反変ベクトルの共変微分は、次式で定義される場合、スカラー量となる。

$$\Delta_\mu a^\nu=\partial_\mu a^\nu +\Gamma^\nu_{\mu\lambda}a^\lambda$$ (C.56)

この証明は、スカラー量の微分 $\Delta_\mu(a^\nu b_\nu)=\partial_\mu(a^\nu b_\nu)$ の辺々を計算することで得られる。

さらに、もっと高次のテンソルの共変微分も同様に、 クリストッフェル記号を用いて記述できる。 例えば、共変行列の共変微分は次式で定義できる。

$$\Delta_\lambda A_{\mu\nu}=\partial_\lambda A_{\mu\nu} -\Gamma^\rho_{\lambda\mu}A_{\rho\nu} -\Gamma^\rho_{\lambda\nu}A_{\mu\rho}$$ (C.57)

クリストッフェル記号は計量テンソル（metric tensor）からも計算することもできる。

$$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\frac12g^{\lambda\rho} (\partial_\mu g_{\rho\nu}+\partial_\nu g_{\mu\rho} -\partial_\rho g_{\mu\nu})$$ (C.58)

この証明は以下のようである。 計量テンソルの座標変換の式C.27を両辺を微分する。 また、これらのサッフィクスを入れ替えたものを用意する。 この際、計算に便利なように、変換係数 $\alpha^i_\mu$ は $\partial_\mu x^i$ と記載する。

$$\partial_\rho g_{\mu\nu} = \partial_\rho (\partial_\mu x^i\partial_\nu x^j\delta_{ij}) =[(\p... ...i)\partial_\nu x^j +(\partial_\rho\partial_\nu x^j)\partial_\mu x^i]\delta_{ij}$$

$$\partial_\mu g_{\rho\nu} = \partial_\mu (\partial_\rho x^i\partial_\nu x^j\delta_{ij}) =[(\p... ...i)\partial_\nu x^j +(\partial_\mu\partial_\nu x^j)\partial_\rho x^i]\delta_{ij}$$

$$\partial_\nu g_{\mu\rho} = \partial_\nu (\partial_\mu x^i\partial_\rho x^j\delta_{ij}) =[(\p... ...)\partial_\rho x^j +(\partial_\nu\partial_\rho x^j)\partial_\mu x^i]\delta_{ij}$$

$\partial_\rho\partial_\mu x^i=\partial_\mu\partial_\rho x^i$ などを利用すると、次式が得られる。

$$\partial_\mu g_{\rho\nu}+\partial_\nu g_{\mu\rho} -\partial_\rho g_{\mu\nu} = (\partial_\mu\partial_\nu x^j)\partial_\rho x^i\delta_{ij} +(\partial_\nu\partial_\mu x^i)\partial_\rho x^j\delta_{ij}$$

$$= (\partial_\mu\partial_\nu x^j)\partial_\rho x^i\delta_{ij} +(\partial_\nu\partial_\mu x^j)\partial_\rho x^i\delta_{ji}$$

$$= 2(\partial_\mu\partial_\nu x^j)\partial_\rho x^i\delta_{ij}$$ (C.59)

ここで $\delta_{ji}=\delta_{ij}$ なる対称性を利用した。 したがって

$$\frac12g^{\lambda\rho}(\partial_\mu g_{\rho\nu} +\partial_\nu g_{\mu\rho}-\partial_\rho g_{\mu\nu}) = \alpha_m^\lambda\alpha_n^\rho\delta^{mn} (\partial_\mu\partial_\n... ...\alpha_m^\lambda\delta_n^i\delta^{mn} (\partial_\mu\partial_\nu x^j)\delta_{ij}$$

$$= \alpha_m^\lambda\delta^{mi} (\partial_\mu\partial_\nu x^j)\delta_{ij} =\alpha_m^\lambda\delta_j^m(\partial_\mu\partial_\nu x^j)$$

$$= \alpha_j^\lambda(\partial_\mu\partial_\nu x^j)$$ (C.60)

この右辺は式C.54の右辺に一致する。

ここで、クリストッフェル記号をデカルト座標と無関係に、 計量テンソルから計算する手法を得た。 したがって、相対性理論などのように、 デカルト座標と無関係に計量テンソルのみが与えられているでも、 クリストッフェル記号が算定可能となった。