曲線座標における微分演算

本節では、 $\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits }\nolimits$、 $\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits$、 $\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits$ といった微分演算が、 極座標とか円柱座標といった曲線座標（curvilinear coordinates） $x^\mu$ でどのように記述できるかを議論するため、基準となる $x^i$ はデカルト座標（Cartesian coordinates）とする。

これらの微分演算の変換は、 スカラー関数の空間微分や反転ベクトルの共変微分の変換の話で、 基本的には議論がすんでいるのであるが、 一つだけ、問題がある。 それはベクトルの成分の大きさの表現の問題である。 例えば、今までの議論では、 極座標の緯線に沿った単位ベクトルの大きさは 1 ラジアンであったが、 微分演算の場合の単位ベクトルは 1 メートルといった単位長さを有する。

つまり、ベクトルの大きさはあくまでも、長さで表現する。 これに合せて若干の補正が必要となる。 計量テンソルの定義式に戻ろう。

$$\emph u_\mu\emph u_\nu=g_{\mu\nu}$$ (C.61)

本節ではアインシュタイン規約が使いづらいので、一々合計記号を記載する。

曲線座標が直交座標を構成するときには、計量テンソルは非対角要素を持たない。 したがって $\vert\emph u_\mu\vert=\sqrt{g_{\mu\mu}}$ の長さを持つ。 次のような変更をすることで、 $\emph e_\mu$ は長さ 1 のベクトルとなる。

$$\emph u_\mu=\sqrt{g_{\mu\mu}}\emph e_\mu$$ (C.62)

同様にして双対の単位ベクトルに対し、次式が得られる。

$$\emph u^\mu=\sqrt{g^{\mu\mu}}\emph e^\mu =\frac{\emph e^\mu}{\sqrt{g_{\mu\mu}}}$$ (C.63)

したがって、今迄の手法を用いて微分演算の座標変換を行った後、 最後に $\emph u_\mu$ を $\emph e_\mu$ に変換すれば、 微分演算の座標変換は完成する。