超伝導回路の解析

普通の回路では、キルヒホフの電流則（Kirchhoff current law）（Kh-$I$）と キルヒホフの電圧則（Kirchhoff voltage law）（Kh-$V$）が基本にある。 これらは分岐点での電流の総和が0になることと、ループに沿った電位差の 総和が0になることで表される。

$$I \hspace{1cm} \sum I_i=0$$ (581)

$$V \hspace{1cm} \sum V_i=0$$ (582)

超伝導回路でも、これらの法則は当然成立するが、超伝導体がループを 作っていると、フラクソイドが一定に保たれるという性質がある。 しかも、その一定値は磁束量子の整数倍になる。 より厳密にいうと、超伝導体およびジョセフソン素子のフラクソイド（fluxoid） の総和が量子化される。

電圧を時間積分したものはフラクソイドであるので、要するにKh-$V$則を 時間積分したキルヒホフのフラクソイド則（Kirchhoff fluxoid law）が成立する。

$$\Phi \hspace{1cm} \sum\Phi_i = n\Phi_0$$ (583)

この式を時間微分するとKh-$V$則となるので、普通の回路理論と 矛盾している訳ではない。 なお、電荷のない通常の超伝導体回路の世界では $\mathop{\emph ▽}\nolimits ^2V=0$ が成立するので、この式より、フラクソイドについても、次式が成立する。

$$\mathop{\emph ▽}\nolimits ^2\Phi=0$$ (584)

この式は $\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}+e\boldsymbol{A}$の両辺の $\mathop\emph{\text{div}}\nolimits$をとっても 証明できる。 右辺第一項は $\mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{J}$に比例するが、これは電流連続の式より0となる。 右辺第二項は $\mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{A}$に比例するが、これははて...

こうした回路を解析するには、通常の回路解析の電位をフラクソイドに置き換え るだけでよい。 次に回路内に適当な数の電源を置く必要がある。 そうでないと、すべてが0になってしまうからである。 これら電源から見たインピーダンスや相互インピーダンスを求めることになる。 解くべき変数は、ループの電流、または分岐点のフラクソイドのいずれを 選ぶかがある。

ループ電流を変数に選んだ場合、変数の数はループ数$l$となる。 これにより、各枝の電流が決定できるので、各枝のインピーダンス （の時間積分）を利用して、各枝のフラクソイド差が求められるが、これらには Kh-$\Phi$則が成立しなければいけない。 ループ数の条件があるので、条件数と変数の数が一致し、問題は 解けることになる。 なお、ループ電流を変数とする限り、Kh-$I$則は自動的に満たされる。

分岐点フラクソイド（電位の時間積分値）を変数に選んだ場合、変数の数は 分岐点数$n$となる。 これにより、各枝の両端のフラクソイド差が決定されるので、各枝の インピーダンス（の時間積分）を利用して、各枝の電流が求められる。 各分岐点でKh-$I$則が成立していなければならないので、$n$個の条件が 存在することになり、やはり一義に解くことができる。 超伝導インピーダンスを計算するには、この方法が適している。

各枝の電流やフラクソイドを変数にすることも可能であるが、一般に、変数の 数が多くなり、実用的ではない。