四元ベクトル

力学におけるベクトルの代表は位置ベクトルである。 これに対応する四元ベクトルは $(x,y,z,ct)$ である。 $(\emph r,ct)$ とも表わす。 時間項が $c$ 倍されているのは、空間と同じ次元になって、 空間座標との対応がよくなるからである。 これを まとめて $x^\mu$ と記載する $\mu$ が上付きになっているが、 この表記はアインシュタインが導入したもので、冪乗の意味ではない。 座標変換の際、上記の変換を受けるベクトルを反変ベクトル（contravariant vector）と呼び、 その場合にはサフィックスを上付きにすると決めたものである。 また、四次元でのサフィックスには $\mu$、$\nu$ などのギリシャ文字を用い、三次元のサフィックスである $i$、$j$ と区別する。

次に速度ベクトルを考えよう。 元々、$v_x=dx/dt$ などと定義されているが、 これをそのまま第四成分に拡張すると $v_t=d(ct)/dt=c$ となって、 第四成分だけ定数となってしまい、何かがおかしい。 $\left(dx,dy,dz,d(ct)\right)=\left(\emph{dr},d(ct)\right)$ あるいは $dx^\mu$ は式10.4で変換されるから、 確かに四元ベクトルになっているが、 分母の $dt$ はローレンツ変換不変ではないからである。 そこで $dt$ に極めて近い概念で、かつ $dt$ とは高速で僅かに異なるローレンツ変換不変の概念である世界時 $ds$ なる概念が、分母として使われる。

$$ds=\sqrt{dt^2-(dx^2+dy^2+dz^2)/c^2}=\sqrt{1-\beta_v^2}\ dt$$ (C.89)

ここで $\beta_v=v/c$ である。 $\beta$ は座標変換の際の座標間の速度 $V$ に対応するものであるが、 質点の速度 $v$ に対応するものについては $\beta_v$ を用いることとした。 同様に、$\gamma$ は座標変換の際の座標間の速度 $V$ に対応するものであるが、質点の速度に対応しては $\gamma_v=1/\sqrt{1-\beta_v^2}$ を定義する。

なお、$ds$ がローレンツ変換に対し不変であることは、 次のようにして簡単に証明できる。

$$ds'=\sqrt{dt'^2-(dx'^2+dy'^2+dz'^2)/c^2} =\sqrt{dt^2-(dx^2+dy^2+dz^2)/c^2}=ds$$ (C.90)

粒子の速度 $v$ が光速に比べ十分遅い場合には、 $ds\approx dt$ となる。 この $ds$ を用いて、速度の四元ベクトルである四元速度 $u^\mu$ を次式のように定義する。

$$(u^1,u^2,u^3,u^4)=\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}, \frac{dz}{ds},\frac{d(ct)}{ds}\right)=\gamma_v(\emph v,c)$$ (C.91)

四元速度に、静止質量 $m$ を掛けたものは、四元運動量 $(p^\mu) =(p_x,p_y,p_z,E/c)=(\emph p,\ E/c)$ と呼ばれる。

$$(p^1,p^2,p^3,p^4)=\left(\emph p,\ \frac Ec\right) =m(\emph u,\ u_t)=m\gamma_v(\emph v,\ c)$$ (C.92)

四元運動量の空間成分は、低速では古典的運動量に一致する。 第四成分は、 $E=mc^2+(1/2)mv^2+\cdots$ となるが、 低速では固定分 $mc^2$ の差はあるものの、運動エネルギーに一致する。 このため、この項は質点のエネルギーと考えられる。 また、静止時のエネルギー $mc^2$ は原子爆弾の概念の基礎となった有名な式でもある。

$u^\mu$ が四元ベクトルなら、その微小量も四元ベクトルである。 したがって、四元速度を $s$ で微分することにより、 四元ベクトルである四元加速度が定義できる。

$$\left(\frac{du_x}{ds},\frac{du_y}{ds},\frac{du_z}{ds}, \frac{du_t... ...ac{d^2x}{ds^2},\frac{d^2y}{ds^2}, \frac{d^2z}{ds^2},\frac{d^2(ct)}{ds^2}\right)$$ (C.93)

$\emph f$ を古典的な力として、 ニュートンの運動方程式は $d(m\emph v)/dt=\emph f$ などと書ける。 また $dE/dt=\emph f\cdot\emph v$ が成立する。 これらの式から、次の諸式が誘導できる。

$$m\frac{du_x}{ds} = \frac{dp_x}{ds} =\frac{dp_x}{dt}\frac{dt}{ds}=\gamma_vf_x$$

$$\cdots$$

$$m\frac{du_t}{ds} = \frac{d(mc)}{ds}=\frac{d(E/c)}{ds} =\frac{d(E/c)}{dt}\frac{dt}{ds}=\gamma_v\frac{\emph f\cdot\emph v}c$$ (C.94)

この右辺は、四元力 $F^\mu$ である。

$$(F^1,F^2,F^3,F^4)=\gamma_v(\emph f,\frac{\emph f\cdot\emph v}c)$$ (C.95)

ここで、やや形式論であるが、相対論でよく使われる記載法をまとめて示そう。 まず、座標変換であるが、下記のような成分を持つ行列 $a^{\mu\ }_{\ \nu}$ を定義しよう。

$$\left(\begin{array}{cccc} \gamma & 0 & 0 & -\gamma\beta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma\beta & 0 & 0 & \gamma \end{array}\right)$$ (C.96)

この行列を用いて、座標変換は次のように表わすことができる。

$$x'^\mu=\sum_\nu a^{\mu\ }_{\ \nu}x^\nu$$ (C.97)

アインシュタインはさらに、この式の $\nu$ で見られるように、 同じサッフィックスが上下に入るときには $\sum$ 記号を省略することを提案している。 他書を見るときには、注意して欲しい。

この関係式は、微小距離 $d'x_\mu$ と $dx_\nu$ の間にも成立する。 また一般に次の式が成立する。

$$dx'^\mu=\sum_\nu\D{x'^\mu}{x^\nu}dx^\nu$$ (C.98)

このことから次式が導かれる。

$$a^{\mu\ }_{\ \nu}=\D{x'^\mu}{x^\nu}$$ (C.99)

この行列によって変換されるベクトルは反変ベクトルと呼ばれる。 ここまでに表われた四元ベクトルはすべて反変ベクトルである。

続いて、空間微分 $\mathop{\emph ▽}\nolimits$ に対する四元空間微分演算子の変換を調べてみよう。 S' 系での ${\displaystyle\left(\mathop{\emph ▽}\nolimits ',\D{}{(ct')}\right)}$ は次のように書ける。

$$\D{}{x'}=\D x{x'}\D{}x+\D{(ct)}{x'}\D{}{(ct)} =\gamma\left(\D{}x+\beta\D{}{(ct)}\right)$$ (C.100)

$$\D{}{y'}=\D y{y'}\D{}y=\D{}y$$ (C.101)

$$\D{}{z'}=\D z{z'}\D{}z=\D{}z$$ (C.102)

$$\D{}{(ct')}=\D x{(ct')}\D{}x+\D{(ct)}{(ct')}\D{}{(ct)} =\gamma\left(\D{}{(ct)}+\beta\D{}x\right)$$ (C.103)

ここで、 $\partial x/\partial x'$ などの計算にはローレンツ逆変換を利用している。 この結果を見ると、 $(d\emph r,d(ct))$ などとは異なる、次成分を持つ 行列 $b_{\mu\ }^{\ \nu}$ により変換される。

$$\left(\begin{array}{cccc} \gamma & 0 & 0 & \gamma\beta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \gamma\beta & 0 & 0 & \gamma \end{array}\right)$$ (C.104)

この変換はローレンツ逆変換になっており、 変換行列は互いに逆行列の関係になっている。

$$\sum_\mu a^{\mu\ }_{\ \lambda}b_{\lambda\ }^{\ \nu} =\delta^\mu_\nu$$ (C.105)

$$\sum_\mu b_{\mu\ }^{\ \lambda}a^{\lambda\ }_{\ \nu} =\delta^\mu_\nu$$ (C.106)

このように、 ローレンツ逆変換を受けるベクトルを共変ベクトル（covariant vector）と呼ぶ。

上式を利用すると、 「任意の反変ベクトルと共変ベクトルの積は不変量となる」ことが直ちに得られる。

$$\sum_\mu A'^\mu B'_\mu =\sum_{\mu\nu\lambda}a^{\mu\ }_{\ \nu}A^\n... ... =\sum_{\nu\lambda}\delta_{\nu}^{\lambda}A^\nu B_\lambda =\sum_{\nu}A^\nu B_\nu$$ (C.107)

共変ベクトルは、次に示す $g^{\mu\nu}$ を成分とする行列 $g$ を掛けることにより、簡単に反変ベクトルとすることができる。

$$g=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)$$ (C.108)

これは $\sum_\nu g^{\mu\nu}B_\nu$ を変換した結果が、 $\sum_\nu g^{\mu\nu}B'_\nu =\sum_\nu g^{\mu\nu}\sum_\nu b_\nu^\lambda B_\lambda$ に一致すること確認すればよいが、 $\sum_\nu g^{\mu\nu}a^{\nu\ }_{\ \lambda} =\sum_\nu g^{\mu\nu}\sum_\nu b_\nu^\lambda$ なので、直ちに証明できる。

同様にして、反変ベクトルに上記行列成分と同じ値を持つ行列 $g_{\mu\nu}$ を掛けることにより、共変ベクトルとすることができる。