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: 電磁気学の単位の決定 : 単位系について : 電磁気学における力の量方程式と種々の単位系   目次   索引

マクスウェル方程式の量方程式

次に力の式から、これらと矛盾しないマクスウェル方程式を誘導しておこう。


$\displaystyle \mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{E}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac\alpha{\varepsilon_0}\rho$ (620)
$\displaystyle \mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{E}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac1\gamma\D{\boldsymbol{B}}t$ (621)
$\displaystyle \mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{B}$ $\displaystyle =$ 0 (622)
$\displaystyle \mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{B}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha\mu_0\boldsymbol{J}'
+\frac{\mu_0\varepsilon_0}\gamma\D{\boldsymbol{E}}t$ (623)

ただし、 $ \boldsymbol{J}'$は対称電流の電流密度である。

電荷や電流の項についた係数は、容易に想像できるように、 MKSA単位系の力の式の $ 1/\varepsilon_0\rightarrow\alpha/\varepsilon_0$ $ \mu_0\rightarrow\alpha\mu_0$から得られる。

B.21の電場の時間微分の係数は変位電流の考えから得られる。 変位電流とは電流連続の式B.16の微分形である

$\displaystyle \mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{J}'+\frac1\gamma\D\rho t=0$ (624)

と矛盾しないように導入された概念である。 この式の$ \rho$を式B.18で置き換え、 全体に $ \alpha\mu_0$を掛けると、

$\displaystyle \mathop\emph{\text{div}}\nolimits \left(\alpha\mu_0\boldsymbol{J}' +\frac{\varepsilon_0\mu_0}\gamma\D{\boldsymbol{E}}t\right)=0$ (625)

が得られる。 この括弧内は式B.21の右辺である。 確かに式B.21 $ \mathop\emph{\text{div}}\nolimits $は、左辺が0となるので、 矛盾しない。

こうした式に矛盾しない形で、ローレンツ力(Lorentz force)の式も示しておこう。

$\displaystyle \boldsymbol{F}=Q\left(\boldsymbol{E}+\frac1\gamma\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\right)$ (626)

さらにポテンシャル関連の式は次のようになる。

$\displaystyle \boldsymbol{E}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\mathop\emph{\text{grad}}\nolimits \phi-\frac1\gamma\D{\boldsymbol{A}}t$ (627)
$\displaystyle \boldsymbol{B}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{A}$ (628)


$\displaystyle \mathop{\emph ▽}\nolimits ^2\phi-\frac{\varepsilon_0\mu_0}{\gamma^2}\D{^2\phi}{t^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac\alpha{\varepsilon_0}\rho$ (629)
$\displaystyle \mathop{\emph ▽}\nolimits ^2\boldsymbol{A}-\frac{\varepsilon_0\mu_0}{\gamma^2}
\D{^2\boldsymbol{A}}{t^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\alpha\mu_0\boldsymbol{J}'$ (630)
$\displaystyle \mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{A}+\frac{\varepsilon_0\mu_0}\gamma\D\phi t$ $\displaystyle =$ 0 (631)

ここまでの式を見ると、 $ \varepsilon_0$$ \mu_0$は独立には現れず、 $ \varepsilon_0/\alpha$ $ \alpha\mu_0$$ \alpha$ と組になって現れる。 ただし、 $ \varepsilon_0\mu_0$ $ (\varepsilon_0/\alpha)
(\alpha\mu_0)$と書換えられることに注意してほしい。

B.21の電場の時間微分の係数と、 電磁誘導の式B.19の右辺の係数の積は、電磁波の速度、 つまり$ 1/c^2$になることが分かっている。 このことから後者の係数は$ 1/\gamma$でなければならない。 確かにそうすると次式が成立するが、非対称系であると $ \{\mu_0\}
\{\varepsilon_0\}$$ 1/\{c\}^2$となり、対称系であると $ 1/\{\gamma\}^2$$ 1/\{c\}^2$となるので、納得できよう。

$\displaystyle \frac{\mu_0\varepsilon_0}{\gamma^2}=\frac1{c^2}$ (632)

つまり、 $ \varepsilon_0/\alpha$ $ \alpha\mu_0$$ \gamma$ の三つの定数のうち二つを自由に決めることができる。

また、ポテンシャルの時間の二階微分に付く係数は$ 1/c^2$であり、 ローレンツ条件の一時微分の係数は $ \gamma/c^2$となる。

以上の方程式を使うと、 磁荷、電流、電荷、電圧といった電磁気学の基本単位(base unit)は決定できるが、 後に分かるように、これら二つの自由度の結果、(電流 or 磁束)と(電荷 or 電圧)の二つの単位を自由に選ぶことができ、 他の二つはこれらから誘導できることになる。

例えば、電流と電圧を独立に決定することができる。 さらに、$ \gamma$の値は1 or cなので、 これを1と定めると、自由度は一つとなり、 例えばMKS以外に電流だけを定めればすべてが決定されることになる。 これがMKSAの第四基本単位がAになる由来である。


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Yoichi OKABE 平成21年7月3日