マクスウェル方程式の量方程式

次に力の式から、これらと矛盾しないマクスウェル方程式を誘導しておこう。

$$\mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{E} = \frac\alpha{\varepsilon_0}\rho$$ (620)

$$\mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{E} = -\frac1\gamma\D{\boldsymbol{B}}t$$ (621)

$$\mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{B} =$$ 0 (622)

$$\mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{B} = \alpha\mu_0\boldsymbol{J}' +\frac{\mu_0\varepsilon_0}\gamma\D{\boldsymbol{E}}t$$ (623)

ただし、 $\boldsymbol{J}'$は対称電流の電流密度である。

電荷や電流の項についた係数は、容易に想像できるように、 MKSA単位系の力の式の $1/\varepsilon_0\rightarrow\alpha/\varepsilon_0$、 $\mu_0\rightarrow\alpha\mu_0$から得られる。

式B.21の電場の時間微分の係数は変位電流の考えから得られる。 変位電流とは電流連続の式B.16の微分形である

$$\mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{J}'+\frac1\gamma\D\rho t=0$$ (624)

と矛盾しないように導入された概念である。 この式の$\rho$を式B.18で置き換え、 全体に $\alpha\mu_0$を掛けると、

$$\mathop\emph{\text{div}}\nolimits \left(\alpha\mu_0\boldsymbol{J}' +\frac{\varepsilon_0\mu_0}\gamma\D{\boldsymbol{E}}t\right)=0$$ (625)

が得られる。 この括弧内は式B.21の右辺である。 確かに式B.21の $\mathop\emph{\text{div}}\nolimits$は、左辺が0となるので、 矛盾しない。

こうした式に矛盾しない形で、ローレンツ力（Lorentz force）の式も示しておこう。

$$\boldsymbol{F}=Q\left(\boldsymbol{E}+\frac1\gamma\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\right)$$ (626)

さらにポテンシャル関連の式は次のようになる。

$$\boldsymbol{E} = -\mathop\emph{\text{grad}}\nolimits \phi-\frac1\gamma\D{\boldsymbol{A}}t$$ (627)

$$\boldsymbol{B} = \mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{A}$$ (628)

$$\mathop{\emph ▽}\nolimits ^2\phi-\frac{\varepsilon_0\mu_0}{\gamma^2}\D{^2\phi}{t^2} = -\frac\alpha{\varepsilon_0}\rho$$ (629)

$$\mathop{\emph ▽}\nolimits ^2\boldsymbol{A}-\frac{\varepsilon_0\mu_0}{\gamma^2} \D{^2\boldsymbol{A}}{t^2} = -\alpha\mu_0\boldsymbol{J}'$$ (630)

$$\mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{A}+\frac{\varepsilon_0\mu_0}\gamma\D\phi t =$$ 0 (631)

ここまでの式を見ると、 $\varepsilon_0$、$\mu_0$は独立には現れず、 $\varepsilon_0/\alpha$、 $\alpha\mu_0$と$\alpha$ と組になって現れる。 ただし、 $\varepsilon_0\mu_0$は $(\varepsilon_0/\alpha) (\alpha\mu_0)$と書換えられることに注意してほしい。

式B.21の電場の時間微分の係数と、 電磁誘導の式B.19の右辺の係数の積は、電磁波の速度、 つまり$1/c^2$になることが分かっている。 このことから後者の係数は$1/\gamma$でなければならない。 確かにそうすると次式が成立するが、非対称系であると $\{\mu_0\} \{\varepsilon_0\}$が$1/\{c\}^2$となり、対称系であると $1/\{\gamma\}^2$が$1/\{c\}^2$となるので、納得できよう。

$$\frac{\mu_0\varepsilon_0}{\gamma^2}=\frac1{c^2}$$ (632)

つまり、 $\varepsilon_0/\alpha$、 $\alpha\mu_0$、$\gamma$ の三つの定数のうち二つを自由に決めることができる。

また、ポテンシャルの時間の二階微分に付く係数は$1/c^2$であり、 ローレンツ条件の一時微分の係数は $\gamma/c^2$となる。

以上の方程式を使うと、 磁荷、電流、電荷、電圧といった電磁気学の基本単位（base unit）は決定できるが、 後に分かるように、これら二つの自由度の結果、（電流 or 磁束）と（電荷 or 電圧）の二つの単位を自由に選ぶことができ、 他の二つはこれらから誘導できることになる。

例えば、電流と電圧を独立に決定することができる。 さらに、$\gamma$の値は1 or cなので、 これを1と定めると、自由度は一つとなり、 例えばMKS以外に電流だけを定めればすべてが決定されることになる。 これがMKSAの第四基本単位がAになる由来である。