パフ・パフの角運動量のパラドックス

力は充電電流に対して働くから、まず各点での電流を求めよう。 内殻のある緯度での電流はそれより下の総電荷の時間微分で与えられる。 まず、ある緯度以下の総電荷は次のようになる。 なお、時刻$t$における全電荷を$Qt/\tau$としておく。 また、以下の計算で$r=a$とする。

$$\int_\theta^\pi\frac{Qt}{4\pi\tau r^2}2\pi\rho r\,d\theta =\frac{Qt}{2\tau}(\cos\theta+1)$$ (D.8)

この結果、ある緯度を北から南に横切る電流は $(Q/2\tau)(\cos\theta+1)$となる。

これから電流密度を求め、各点でのローレンツ力を求め、 力のモーメントを得てからそれを積分すればよいのであるが、 球の同じ緯度のものをまとめると、電流そのものと磁場を掛けて、 それの作る力のモーメントを積分するだけでよいことがわかる。 さらにこれを$\tau$で積分する、つまり$\tau$を掛けると、 得られる総角運動量となる。

$$L=\frac Q2\int(\cos\theta+1)r\,d\theta B_z\cos\theta\,\rho =\frac13r^2QB_z$$ (D.9)

$r=b$と$r=a$における総角運動量の差は、次のようになる。

$$L=\frac13(b^2-a^2)QB_z$$ (D.10)

この物体が得た角運動量は、 前問で得られたポインティングベクトルが得る角運動量で相殺される。