ラグランジュ・ダランベールの仮想変位の原理

まず剛体なども扱うことを前提に、多数の質点からなる系の静力学を考えよう。 各質点では力の総和が0になるはずであるから、次の式が成立する。

$$\boldsymbol{F}_i+\boldsymbol{R}_i=0 \hspace{1truecm} (i=1,\cdots, )$$ (675)

ここで、 $\boldsymbol{F}_i$は各質点に働く外力であり、 $\boldsymbol{R}_i$ は、互いに束縛し合う質点間に働く束縛力（constraining force）である。

例えば、二つの質点が一定距離になるような束縛（constraint）を受けている場合、 束縛条件の個数、つまり束縛力の数は一個である。 三個の質点が一体として動く場合には、三個の束縛条件が存在する。 四個の質点が一体として動く場合には、新たな質点を他の三個に対して固定するために、 さらに三個の束縛条件が存在する。 以下同様に質点の数が増えるごとに、束縛条件の数は3ずつ増えていくので、 $m$個の質点が一体として動いている場合には、 束縛条件の数は $3m-6(m=2$の場合は$1)$となる。 なお$m$個の集団の運動を記述するには、 その重心の位置と角度の自由度の合わせて6個（$m=2$の場合は5） の自由度で十分であるので、自由度と束縛条件の数の和は、 元の成分の総数$3N$になる。

同様に質点が個別にレールのような一次元的なものに束縛されている場合には、 質点ごとに二個の束縛条件があることになる。 曲面に束縛されているときには、質点ごとに一個の束縛条件があることになる。 その他、質点系と質点系が蝶番のように、 部分的な束縛条件を満たす場合など、色々な束縛があるが、 同様に扱うことが可能である。

上式が成立すれば、これにどんな量を掛けても （元がベクトルであるので、スカラー倍でも内積でも外積でもよい）、 また、その結果をいくつ合計しても0となるから、次式が成立する。

$$\sum_i(\boldsymbol{F}_i+\boldsymbol{R}_i)\cdot\delta\boldsymbol{r}_i=0$$ (676)

この場合には、各質点の僅かな変位 $\delta\boldsymbol{r}_i$ との内積をとって、総和をとっている。 なお、変位があれば $\boldsymbol{F}_i+\boldsymbol{R}_i$ は僅かに変化する可能性があるが、その影響は二次の微小量となり無視できる。 このように変位に対して、それらの関数が0に保たれることを停留（stationary）するという。

さて、この変位 $\delta\boldsymbol{r}_i$がすべての束縛条件を満たす場合、 次の式が成立する。

$$\sum_i\boldsymbol{F}_i\cdot\delta\boldsymbol{r}_i=0$$ (677)

この式はダランベールの仮想変位の原理（d'Alenbert principle of virtual displacement）と呼ばれるものである。

その理由は、質点そのものに束縛条件がある場合には $\boldsymbol{R}_i\cdot\delta\boldsymbol{r}_i=0$が成立するし、 質点間に束縛条件がある場合には $\sum_{i}\boldsymbol{R}_i\cdot\delta\boldsymbol{r}_i=0$が成立するからである。 後者の場合、例えば二質点に束縛がある場合には $\vert\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\vert^2$が一定という関係が成立する。 これより、 $(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)\cdot(\delta\boldsymbol{r}_1-\delta\boldsymbol{r}_2)=0$、 つまり、 $\delta\boldsymbol{r}_1-\delta\boldsymbol{r}_2=0$は、 2質点を結ぶ直線に垂直になる。 一方、 $\boldsymbol{R}_1=-\boldsymbol{R}_2$は二質点を結ぶ直線に平行であるから、 $\boldsymbol{R}_1\cdot\delta\boldsymbol{r}_1+\boldsymbol{R}_2\cdot\delta\boldsy... ...ol{r}_2 =\boldsymbol{R}_1\cdot(\delta\boldsymbol{r}_1-\delta\boldsymbol{r}_2)=0$ が得られる。

さて、議論に必要な成分の総数$N$は、一般には質点数の三倍であるが、 一次元空間の質点を議論する場合には、質点数の一倍になるし、 二次元空間の質点を議論する場合には、質点数の二倍になる。 こうした種々の場合を扱うことを考え、力や変位の成分をバラバラに分けて、 その最初から連続的に符番しておこう。 例えば位置のベクトルは、 $\boldsymbol{r}_1$の三成分を$x_1$、$x_2$、$x_3$とし、 $\boldsymbol{r}_2$の三成分を$x_4$、$x_5$、$x_6$と記載するのである。 力についても同様に符番する。 すると、ダランベールの仮想変位の原理の式は次のように書ける。

$$\sum_i^NF_i\delta x_i=0$$ (678)

ここで、$N$は質点の位置を表現するために必要な成分の総数で、 質点の数に空間の次元数倍したものである。

ラグランジュは、この原理を、動力学にも適用されるように拡張された。 動力学の場合には、各質点に、 加速度に対応する加速力 $-m_i\boldsymbol{\ddot r}_i$が追加されたとすれば、 静力学と同じに議論できる。 ここでも、加速力を成分分けし、改めて符番しよう。 一質点の成分に現れる質量はすべて同じ値となるが、 成分ごとに強制的に1から順に符番することとする。 つまり三次元空間の最初の質点の加速力の三成分 $(m_1\ddot x_1,m_1\ddot y_1,m_1\ddot z_1)$は $m_1\ddot x_1$、 $m_2\ddot x_2$、 $m_3\ddot x_3$ と表現することとする。 すると各質点の成分ごとに次の式が成立する。

$$F_i+R_i-m_i\ddot x_i=0$$ (679)

これに任意の変位を掛けたものも、またそれらの総和も0となる。

$$\sum_i^N(F_i+R_i-\ddot m_ix_i)\,\delta x_i=0$$ (680)

ここで $\delta x_i$を束縛条件にしたがった変位とすると

$$\sum_i^NR_i\delta x_i=0$$ (681)

であるから、次式が成立する。

$$\sum_i^N(\ddot m_ix_i-F_i)\,\delta x_i=0$$ (682)

ダランベールの仮想変位の原理というと、この式を指すことが多いが、 本書では前掲の静力学の式と区別するために、 またラグランジュに敬意を表する意味で、 ラグランジュ・ダランベールの仮想変位の原理（Lagrange d'Alenbert principle of virtual displacement）と呼ぶことにする。