ラグランジュの運動方程式

束縛のある場合、この力学系の自由度$n$は$N$よりも小さな値となる。 その場合、多くのケースで$x_i$ とは異なる別の変数を利用するほうがよいことが多い。 例えば、円運動をしている質点ならば$\theta$一つを使えばよいし、 互いに等距離に接続された二質点ならば、重心の座標と、 二質点を結ぶ直線の方向を示す極座標的二つの角度を使うのが便利である。 こうした座標を一般化座標（generalized coordinate）と呼び、 $q_j: (j=1,\cdots,n)$とする。

式C.8を書き換えよう。 まず第一項は次のように変形できる。

$$\sum_i^Nm_i\ddot x_i\delta x_i$$

$$= \sum_i^Nm_i\ddot x_i \left(\sum_j^n\D{x_i}{q_j}\delta q_j\right)$$

$$= \sum_i^N\sum_j^n\left[\frac d{dt} \left(m_i\dot x_i\D{x_i}{q_j}\right) -m_i\dot x_i\frac d{dt} \left(\D{x_i}{q_j}\right)\right]\delta q_j$$

$$= \sum_j^n\sum_i^N\left[\frac d{dt} \left(m_iv_i\D{x_i}{q_j}\right)... ...\dot q_k +\frac{\partial^2x_i}{\partial q_j\partial t} \right)\right]\delta q_j$$

$$= \sum_j^n\sum_i^N\left[\frac d{dt} \left(m_iv_i\D{v_i}{\dot q_j}\right) -m_iv_i\D{v_i}{q_j}\right]\delta q_j$$

$$= \sum_j^n\left[ \frac d{dt}\left(\D T{\dot q_j}\right) -\D{T}{q_j}\right]\delta q_j$$ (683)

ただし、$T$は次のように定義されている。

$$T=\sum_i^N\frac12m_iv_i^2$$ (684)

二行目から三行目への変形は、 $f'g=(fg)'-fg'$を利用している。 また、三行目と四行目の変形は、

$$\D{v_i}{\dot q_j} = \D{\dot x_i}{\dot q_j} =\D{x_i}{q_j}$$

$$\D{v_i}{q_j} = \D{}{q_j}\left(\frac{dx_i}{dt}\right) =\D{}{q_j}\left(\sum_k^n\D{dx_i}{q_k}\dot q_k +\D{dx_i}t\right)$$ (685)

の関係を利用する。 各右辺が三行目に、各左辺が四行目に現れている。 これらの式の誘導から分かるように、$T$は見掛けは$v_i$ の関数であるが、各$v_i$は$q_j$と$\dot q_j$ で書き換えられていることを前提としている。 したがって $T(q,\dot q)$である。

一方、第二項は次のようになる。

$$\sum_i^NF_i\delta x_i =\sum_i^NF_i \left(\sum_j^n\D{x_i}{q_j}\del... ...sum_j^n\left(\sum_i^NF_i \D{x_i}{q_j}\right)\delta q_j =\sum_j^nF^g_j\delta q_j$$ (686)

最後の括弧を$F^g_j$としたが、これは一般化力（generalized force）と呼ばれている。

以上の結果をまとめると次式が得られる。

$$\sum_j^n\left[ \frac d{dt}\left(\D T{\dot q_j}\right) -\D{T}{q_j}-F^g_j\right]\delta q_j=0$$ (687)

$\delta q_j$は独立に変動できるので、次の式が得られる。

$$\frac d{dt}\left(\D T{\dot q_j}\right) -\D T{q_j}=F^g_j \hspace{1cm} (j=1,\cdots,n)$$ (688)

これがラグランジュの導いた方程式であり、 ニュートンの運動方程式と等価なものである。

特に保存力場の場合は、 $F_i=-\D U{x_i}$として、 次のように変形できる。

$$\sum_i^NF_i{\delta x_i} =-\sum_i^N\sum_j^n\D U{x_i} \D{x_i}{q_j}\delta q_j =-\sum_j^n\D U{q_j}\delta q_j$$ (689)

したがって

$$L(q_1,\cdots,q_n,\dot q_1,\cdots,\dot q_n) =T(q_1,\cdots,q_n,\dot q_1,\cdots,\dot q_n)-U(q_1,\cdots,q_n)$$ (690)

としてラグランジュの方程式は次のようになる。

$$\frac d{dt}\left(\D L{\dot q_j}\right) -\D L{q_j}=0 \hspace{1cm} (j=1,\cdots,n)$$ (691)

この式は特にラグランジュの運動方程式（Lagrange equation of motion）、 あるいはオイラーの微分方程式（Euler differential equation）と呼ばれる。 また、$L$はラグランジアン（Lagrangian）と呼ばれる。 なお、上に示した$L$の表記は長ったらしいので、 よく次式のように略記される。

$$L(q,\dot q)=T(q,\dot q)-U(q)$$ (692)

なお、電磁気学のローレンツ力（Lorentz force）のように、 速度の影響が入っているような力は、保存力の扱いができず、 若干の工夫が必要であり、その手法については後の節に示す。