最小作用の原理

最小作用の法則とは次のようなものである。 今、ラグランジアン$L$に関する次の積分を考える。

$$S(q(t))=\int_{t_0}^{t_1}dt\ L(q(t),\dot q(t))$$ (707)

ここで、運動の軌跡$q(t)$は$q(t_0)$の値と$q(t_1)$ の値が定まっているだけで、途中は任意の関数であり、 必ずしも、運動の方程式を満たした解とは限っていない。 この積分値を作用（action）と呼ぶ。

さて、ここから軌跡を $q(t)+\delta q(t)$と僅かに動かしてみる。 すると作用も僅かに変化する。 ここで、重大な事実が存在する。 この作用が停留する、 つまり軌道を僅かに変えても作用がほとんど変わらないときには、 その軌道は運動方程式を満たす。 また、逆に運動方程式を満たす軌道の周辺で、軌道を僅かに変えても、 作用は停留するというものである。 本書では説明を省くが、停留といっても最小値になるので、 最小作用の原理（principle of minimum action）と呼ぶ。

作用が停留するときに、軌道が運動方程式を満たすことは次のように証明できる。 質点がある軌跡から少しずれた軌跡 $q(t)+\delta q(t)$をとると、 軌跡の移動に伴って各点での速度も $\dot q(t)+d(\delta q(t))/dt$ と変化する。 したがって、ずれた軌道での作用と元の軌道の作用の差は次のようになる。

$$\delta S = S(q(t)+\delta q(t))-S(q(t))$$

$$= \int_{t_0}^{t_1}dt\,L\left(q(t)+\delta q(t),\, \dot q(t)+\frac{d\delta q(t)}{dt}\right)-S(q(t))$$

$$= \int_{t_0}^{t_1}dt\left[\D Lq\delta q(t) +\D L{\dot q}\frac{d\delta q(t)}{dt}\right]$$

$$= \left.\D L{\dot q}\delta q(t)\right\vert _{t_0}^{t_1} +\int_{t_0}... ...t\left[\D Lq\delta q(t) -\frac d{dt}\left(\D L{\dot q}\right)\delta q(t)\right]$$

$$= \int_{t_0}^{t_1}dt\left[\D Lq -\frac d{dt}\left(\D L{\dot q}\right)\right]\delta q(t)$$ (708)

これが任意の微小軌道変形について、常に0となるためには、 次式が成立しなければならない。

$$\frac d{dt}\left(\D L{\dot q}\right)-\D Lq=0$$ (709)

この式は前出のラグランジュの運動方程式そのものである。 逆にこの式が成立すれば、作用が停留することも明らかである。 なお、上式の $p=\partial L/\partial\dot q$ を一般化運動量（generalized momentum）と呼ぶが、速度を$m$ だけした運動量とは若干異なる値となることがあるので、注意が必要である。