電磁気学のラグランジアン

次式で与えられるローレンツ力は位置だけでなく、速度にも依存する量である。

$$\boldsymbol{F}=Q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$$ (717)

したがっていわゆる保存力ではなく、ポテンシャル表示はできない。 しかし、ラグランジアンでは表示できるという面白い力である。

まず成分展開し、ポテンシャルで表示しておこう。 $x$成分は次のようになる。

$$F_x = Q(E_x+v_yB_z-v_zB_y)$$

$$= Q\left(-\D\phi x-\D{A_x}t+v_y\D{A_y}x-v_y\D{A_x}y -v_z\D{A_x}z+v_z\D{A_z}x\right)$$

$$= Q\left(-\D\phi x-v_x\D{A_x}x-v_y\D{A_x}y-v_z\D{A_x}z-\D{A_x}t +v_x\D{A_x}x+v_y\D{A_y}x+v_z\D{A_z}x\right)$$

$$= Q\left(-\frac{dA_x}{dt}+\D{(v_xA_x+v_yA_y+v_zA_z-\phi)}x\right)$$

$$= Q\left[-\frac d{dt}\left(\D{(v_xA_x+v_yA_y+v_zA_z-\phi)}{v_x} \right)+\D{(v_xA_x+v_yA_y+v_zA_z-\phi)}x\right]$$

$$= Q\left[\frac d{dt}\left(\D U{v_x}\right)-\D Ux\right]$$ (718)

ただし、$U$は次で定義されているとする。

$$U=Q\left(\phi-v_xA_x-v_yA_y-v_zA_z\right)$$ (719)

他の成分についても同様な形となるので、ラグランジアンは次のようになる。

$$L=T-U=\frac12m\left(v_x^2+v_y^2+v_z^2\right) -Q\left(\phi-v_xA_x-v_yA_y-v_zA_z\right)$$ (720)

逆にこれを解くには、まず一般化運動量を求める。 $x$成分に着目すると

$$p_x=\D L{v_x}=mv_x+QA_x$$ (721)

が得られる。 これから運動方程式は

$$\frac{dp_x}{dt}=\D Lx$$ (722)

に代入して、

$$m\dot v_x+Q\left(\D{A_x}t+v_x\D{A_x}x+v_y\D{A_x}y+v_z\D{A_x}z\right) =-Q\left(\D\phi x-v_x\D{A_x}x-v_y\D{A_y}x-v_z\D{A_z}x\right)$$ (723)

となる。 左辺第二項以降を右辺に移項し、整理するとローレンツ力の$x$成分が得られる。

また、相対論的速度の場合には

$$T=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\left(v_x^2+v_y^2+v_z^2\right)/c^2}}$$ (724)

と修正すればよいので、次式のラグランジアンでよい。

$$L=T-U=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\left(v_x^2+v_y^2+v_z^2\right)/c^2}} -Q\left(\phi-v_xA_x-v_yA_y-v_zA_z\right)$$ (725)

さらに、

$$L^r=mc^2-Q\left(U_t\phi-U_xA_x-U_yA_y-U_zA_z\right)$$ (726)

として、

$$\int_{s_0}^{s_1}ds\,L^r$$ (727)

なる停留問題にすることもできる。 ただし、

$$ds=\sqrt{dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}$$ (728)