磁場力の消失

基準となるS系では、 $B=I/2\pi\mu_0r$なる磁場が存在し、 $v$で移動している単電荷には、 $F=QvB=\mu_0QvI/2\pi r$なる力が働く。 さて、電流密度は$J=I/S$であるので、 S系における四元電流ベクトルは $(I/S, 0, 0, 0)$となる。 これを座標変換して、$v$で動くS$'$系で見ると、 $(\gamma I/S, 0, 0, \gamma vI/cS)$となり、 電荷密度 $\gamma vI/c^2S$が見えてくる。 この電荷密度の作る電場は $E=\gamma vI/2\pi\varepsilon_0c^2r$となるので、 S$'$系で静止している単電荷には $F=QE=\gamma\mu_0QvI/2\pi r$なる力が働く。先に述べた力とこの力は$\gamma$だけの差しか存在せず、 $v$が$c$に比べ十分小さいときには、完全に一致する。

何故、座標変換されると、中性だった電流の線路に、電荷が現れてくるのであろうか。 これについては「ファインマン物理」に書かれている。 まず、簡単のために、電流は、動かない固定負電荷と、 単電荷と一緒の速度$v$を持つ移動正電荷とよりなっているとしよう。 S系では、電荷密度はいずれも$\rho=I/Sv$となる。 さて、これら分布電荷をS$'$系で見てみると、まず負電荷は長さのローレンツ収縮のため、電荷密度が上がり、 $\rho_-=I/\gamma Sv$となる。 一方、正電荷は、S系でローレンツ収縮を起こしていたはずであるので、 S$'$系では $\rho_+=\gamma I/Sv$となる。これらの結果、S$'$系では $\rho=(\gamma-1/\gamma)I/Sv=\gamma vI/c^2S$だけの電荷が発生することになる。 これは、前半で計算した結果と一致する。