ファインマンの角運動量のパラドックス

定量的考察のほうが、はっきりした結論が得られるので、それに対する解答を示そう。 二つの球体の半径を$a$、$b$、電荷を$+Q$、$-Q$とする。 また、 磁場は$\tau$で0になるものとし、 $B_z(1-t/\tau)$で変動するとしよう。 すると、ファラデーの電磁誘導の法則から以下の電場が、円周方向に発生する。 ただし、 $\rho=r\sin\theta$である。

$$E_t=\frac{\pi\rho^2B_z/\tau}{2\pi\rho}=\frac{\rho B_z}{2\tau}$$ (744)

この電場により、半径$b$の球体が受ける力のモーメントは、 次式で$r=b$としたものになる。

$$N=\int\left(\frac Q{4\pi r^2}2\pi\rho r\,d\theta\right) \frac{\rh... ...rac14r^2\frac{QB_z}{\tau}\int\sin^3\theta\,d\theta =\frac13r^2\frac{QB_z}{\tau}$$ (745)

ただし、 $\int d\theta\sin^3\theta=4/3$である。 この結果、外殻と内殻では明らかに力のモーメントの差が発生し、 さらに磁場が0になるまでに受ける総角運動量は$\tau$を掛けることにより、 次のようになる。

$$L=\frac13(b^2-a^2)QB_z$$ (746)

この際、 磁場を作り出すコイルには力のモーメントは働かないのだろうかという疑問が湧く。 もしソレノイドに電流を流しておいて、それを突然切断すると、 切断箇所に電荷が発生する。 その電荷に力の働く可能性はあるのである。 しかし、抵抗を経由して電流を0にしていくと、電荷は発生しないため、力は働かない。

となると、 導体が受けた力のモーメントの反作用は電磁場に与えられるという仮説が有力になる。 そこで、 ポインティングベクトルの持つ角運動量の変化量を計算しようということになる。 最後には電場のみしか残っていないので、 最初のポインティングベクトルの持つ角運動量を計算すれば、 電磁場が失なった角運動量となる。 電磁誘導で作られる電場は回転方向のポインティングベクトルには寄与がないので、 電荷の作る電場と初期磁場の作るポインティングベクトルを対象とする。 電場は

$$E_n=Q/4\pi\varepsilon_0r^2$$ (747)

であり、磁場は$B_z$であるので、 ポインティングベクトルは

$$S=E_nB_z\sin\theta/\mu_0=QB_z\sin\theta/4\pi\varepsilon_0\mu_0r^2 =c^2QB_z\sin\theta/4\pi r^2$$ (748)

である。このポインティングベクトルの作るモーメントは

$$S\rho/c^2=QB_z\rho\sin\theta/4\pi r^2$$ (749)

なので、 これを空隙全体で積分すると、

$$\iint2\pi\rho r\,dr\,d\theta\,\frac{QB_z\rho\sin\theta}{4\pi r^2} =\frac13(b^2-a^2)QB_z$$ (750)

となって、電磁場の失なった角運動量は、導体に与えれれた角運動量と一致する。