テレゲンの磁化に働く力のパラドックス

$\mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{B}$が存在するということは、 $\partial\boldsymbol{E}/\partial t$があるということである。 その方向は、紙面垂直で手前向きである。 これと外部から与えられている磁場とで構成される電磁運動量ベクトルの増加率は 中央を向く内向きのベクトルとなり、全体積で積分すると自己相殺してしまう。

しかし、 磁化電流が作る磁場との外積である電磁運動量ベクトルの増加率は左方向となる。 これと、磁化電流に働く力は作用反作用の法則を満すはずであり、 磁化電流に働く力には矛盾はない。 磁荷分極に働く力は、電磁運動量の増加率と同じ方向になり、矛盾する。

この例も、一次元モデルで考えると正確な理解が得られる。 $y$方向の磁化が$x=0$から$x=L$まで存在するとしよう。 磁化電流Kが、$x=L$で$-z$方向に、$x=0$で$z$方向に流れているとしよう。 ちょうと磁化領域と重なる形で、 時間とともに増加する電場 $E_z=\alpha t$が存在するとしよう。 これが変位電流となり、$B_y$が発生するが、 その値は$x=L$で $B_y=\alpha/2c^2$、$x=0$で $B_y=-\alpha L/2c^2$となる。 この結果、両側の磁化電流は共に$x$方向に同じ大きさの力を受け、 その和は単位$yz$面当り $F_x=\alpha KL/c^2$となる。

一方、磁化電流は、この領域内に $B'_y=\mu_0K$なる磁場を発生するが、 これと増加電場の結果、電磁運動量ベクトルの増加率をこの区間で積分した結果は、 $-x$方向に $\partial(\varepsilon_0E_zB'_yL)/\partial t \varepsilon_0\mu_0\alpha KL=\alpha KL/c^2$となる。 この電磁運動量ベクトルの増加率は磁化電流に働く力と見事に相殺し、 磁化に働く力は、磁化電流に働く力でよいことが示される。 なお、一次元モデルの場合、$B_y$は生じないため、磁荷分極には力は働かない。

多くの研究者が、上記の見解であるが、Haus & Penfieldおよび細野は、 $\varepsilon_0\mu_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{M}$なる隠れた運動量があり、 その運動量を補正すれば、磁荷分極に働く力の方が正しいとの見解を示している。 しかし、もしそうならば、この効果は自由電流のループにも現われるはずであるが、 自由電流がローレンツ力からずれる力を受けるという事実は知られていない。 ちなみにこのパラッドクスの場合、 $\varepsilon_0\mu_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{M}$は、 $\varepsilon_0E_zB'_y$と一致する。