動的電磁場

定常電流は必ずとぎれることなく流れるから、ループを構成すると考えてよい。 しかし、コンデンサへ流れ込む電流は極板から先へ流れていく道がなく、 ループを構成しない。 そこでアンペールの法則に何らかの訂正が必要となる。 一つの解決策はループを構成しないのだから見込む立体角の減少分だけ右辺を 減らそうという考えである。 しかし、マクスウェルは別の補正を加えた。 それは不連続な電流に補正項を加え、連続にしようというものであり、電流と 電荷の関係を使う。 閉曲面から流れ出る電流の総和は、その内部の電荷の減少を引き起こす。

$$\oint_V\emph{dS}\cdot\emph J=-\D Qt$$ (3.41)

右辺の$Q$をスカラー積面積分の定理を用い、$\emph E$の面積分に 変更すると、次式が得られる。

$$\oint_V\emph{dS}\cdot\left(\emph J +\varepsilon_0\D{\emph E}t\right)=0$$ (3.42)

つまり、$\emph J$は不連続になっても、 $\emph J+\varepsilon_0 (d\emph E/dt)$は連続量になるので、これをアンペールの定理の右辺に 使おうという補正である。 この補正量のことを変位電流（displacement current）と呼んだ。 定常電流の場合は電場はないので当然変位電流項はなくなる。 この式の微分形は動的な場合の電流連続の法則（current continuity law）と呼ぶ。

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \emph J+\D\rho t=0$$ (3.43)

ここで、ガウスの法則の微分形を使って、 $\varepsilon_0\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \emph E$を$\rho$に書き換えている。

変位電流を加えたときのアンペールの面積分法則（Ampere surface integral law）の積分形は 次のようになる。

$$\oint_V\emph{dS}\times\emph B =\int_VdV\,\left(\mu_0\emph J+\varepsilon_0\mu_0 \D{\emph E}t\right)$$ (3.44)

つまり、閉曲面に沿った回転積分は閉曲面に囲まれた体積内の電流の 総和になるという定理である。 左辺をスカラー積面積分の定理により $\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph B$の体積積分に 変えると、次式が得られる。

$$\int_VdV\,\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph B=\int_VdV\left(\mu_0\emph J +\varepsilon_0\mu_0\D{\emph E}t\right)$$ (3.45)

積分記号をはずすと、アンペールの法則の微分形（differential form of Ampere law）が得られる。

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph B=\mu_0\emph J +\varepsilon_0\mu_0\D{\emph E}t$$ (3.46)

以上、電場の時間変化が磁場に及ぼす影響を示したが、磁場が時間変化すると 電磁誘導に関するファラデーの法則（Faraday law）により、電場が発生する。 この場合電場の閉曲線に沿う積分は磁束の時間変化に比例する。 そこで、線積分型の回転積分で表わすと、次のように補正する必要がある。

$$\oint_S\emph{dr}\cdot\emph E =-\D{}t\int_S\emph{dS}\cdot\emph B$$ (3.47)

ベクトル場スカラー積線積分のストークスの定理（Stokes theorem of scalar product line integral of vector field）を利用して、上式を 微分形に変形すると、次のようになる。

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph E=-\D{\emph B}t$$ (3.48)

これがファラデーの法則の微分形（differential form of Faraday law）である。

以上のように、静電場は発散はあるが、回転のない場であり、静磁場は逆に 回転はあるが、発散のない場である。 動的な場合は、電場の回転と磁場の回転に補正が必要となる。 また、基本方程式として、積分形と微分形の両方を示したが、微分形は マクスウェルが定式化したため、ガウスの法則の微分形（differentail form of Gauss law）も含めて、 まとめて呼ぶときにはマクスウェル方程式（Maxwell equations）と言う。

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \emph E = \frac1{\varepsilon_0}\rho$$

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph E+\D{\emph B}t =$$ 0

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph B-\varepsilon_0\mu_0\D{\emph E}t = \mu_0\emph J$$

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \emph B =$$ 0 (3.49)

以上述べた、$\emph E$の発散、回転、$\emph B$の回転、発散の 積分形あるいは微分形の四式とローレンツ力（Lorentz force）の式が電磁気学の 基本方程式である。 なお、電流連続の法則は、第1式を時間で微分したものと、第3式の div をとったものから$\emph E$を消去し、さらに div rot が 0 になることを 利用すると直ちに得られるため、基本方程式には含めない。