定常電流は必ずとぎれることなく流れるから、ループを構成すると考えてよい。 しかし、コンデンサへ流れ込む電流は極板から先へ流れていく道がなく、 ループを構成しない。 そこでアンペールの法則に何らかの訂正が必要となる。 一つの解決策はループを構成しないのだから見込む立体角の減少分だけ右辺を 減らそうという考えである。 しかし、マクスウェルは別の補正を加えた。 それは不連続な電流に補正項を加え、連続にしようというものであり、電流と 電荷の関係を使う。 閉曲面から流れ出る電流の総和は、その内部の電荷の減少を引き起こす。
右辺の
をスカラー積面積分の定理を用い、
の面積分に
変更すると、次式が得られる。
ここで、ガウスの法則の微分形を使って、
を
に書き換えている。
変位電流を加えたときのアンペールの面積分法則(Ampere surface integral law)の積分形は 次のようになる。
つまり、閉曲面に沿った回転積分は閉曲面に囲まれた体積内の電流の
総和になるという定理である。
左辺をスカラー積面積分の定理により
の体積積分に
変えると、次式が得られる。
積分記号をはずすと、アンペールの法則の微分形(differential form of Ampere law)が得られる。
以上、電場の時間変化が磁場に及ぼす影響を示したが、磁場が時間変化すると 電磁誘導に関するファラデーの法則(Faraday law)により、電場が発生する。 この場合電場の閉曲線に沿う積分は磁束の時間変化に比例する。 そこで、線積分型の回転積分で表わすと、次のように補正する必要がある。
ベクトル場スカラー積線積分のストークスの定理(Stokes theorem of scalar product line integral of vector field)を利用して、上式を 微分形に変形すると、次のようになる。
以上のように、静電場は発散はあるが、回転のない場であり、静磁場は逆に
回転はあるが、発散のない場である。
動的な場合は、電場の回転と磁場の回転に補正が必要となる。
また、基本方程式として、積分形と微分形の両方を示したが、微分形は
マクスウェルが定式化したため、ガウスの法則の微分形(differentail form of Gauss law)も含めて、
まとめて呼ぶときにはマクスウェル方程式(Maxwell equations)と言う。
以上述べた、
の発散、回転、
の回転、発散の
積分形あるいは微分形の四式とローレンツ力(Lorentz force)の式が電磁気学の
基本方程式である。
なお、電流連続の法則は、第1式を時間で微分したものと、第3式の div
をとったものから
を消去し、さらに div rot が 0 になることを
利用すると直ちに得られるため、基本方程式には含めない。