動的な場のポテンシャル

一般的なベクトル場の考察にしたがえば、divもrotも0でない動的な電場は、 スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの和で表わされる。 しかし、スカラーポテンシャルだけで表現できる静電場との差は 磁場に関係しているので、これを利用する。 まず磁場は動的な場合でもdivが0であることから、 ベクトルポテンシャルAのrotで表すことが可能である。 この式をマクスウェル方程式の第2式へ代入してみよう。

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \left(\emph E+\D{\emph A}t\right)=0$$ (4.26)

rotが0のベクトル場はスカラー場のgradで与えられるから、 これを $-\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits }\nolimits \phi$ で表そう。

$$\emph E=-\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits }\nolimits \phi-\D{\emph A}t$$ (4.27)

これら二式はマクスウェル方程式の第 2、3式を自動的に満たすことになる。

次に、これらポテンシャルをマクスウェル方程式の第 1、4式と関連づけよう。 これらの方程式には、場の源である電荷や電流が入っていることが特徴である。 ポテンシャルで表現された電場と磁場をこれらの方程式に代入すると、 マクスウェル方程式の第4式に変わるベクトルポテンシャルの満たすべき 方程式が得られる。

$$\mathop{\emph ▽}\nolimits ^2\phi+\D{}t\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \emph A=-\frac1{\varepsilon_0}\rho$$ (4.28)

$$\mathop{\emph ▽}\nolimits ^2\emph A-\varepsilon_0\mu_0\D{^2\emph... ...limits \cdot}\nolimits \emph A+\varepsilon_0\mu_0 \D\phi t\right)=-\mu_0\emph J$$ (4.29)