動的な場

静的な場に対する方程式を、動的な場に対する方程式に補正するには、ファラデーの電磁誘導の法則とマクスウェルの変位電流を含めればよい。その手法は、三次元の場合とまったく同じである。

ファラデーの法則を入れると、式4.6が次のように変形される。

$\displaystyle \boldsymbol{i}\times(\boldsymbol{B}(x_r)-\boldsymbol{B}(x_l))=\mu_0\int_l^rdx\left(\boldsymbol{J} +\varepsilon_0\D{\boldsymbol{E}}t\right)$

(165)

さらに、これらの微分形を求めると、一次元の場合のマクスウェル方程式が得られる。

$\displaystyle \boldsymbol{i}\cdot\D{\boldsymbol{E}}x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \D{E_x}x=\frac\rho{\varepsilon_0}$
$\displaystyle \boldsymbol{i}\times\D{\boldsymbol{E}}x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\boldsymbol{j}\D{E_z}x+\boldsymbol{k}\D{E_y}x=-\D{\boldsymbol{B}}t$
$\displaystyle \boldsymbol{i}\cdot\D{\boldsymbol{B}}x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \D{B_x}x=0$
$\displaystyle \boldsymbol{i}\times\D{\boldsymbol{B}}x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\boldsymbol{j}\D{B_z}x+\boldsymbol{k}\D{B_y}x=\mu_0\boldsymbol{J} +\varepsilon_0\mu_0\D{\boldsymbol{E}}t$	(166)

これの式を各成分にわけて、まとめ直してみよう。最初は

と

に関する式である。

		$\displaystyle \D{E_x}x=\frac1{\varepsilon_0}\rho$	(167)
		$\displaystyle B_x=$ const	(168)
		$\displaystyle 0=J_x+\varepsilon_0\D{E_x}t$	(169)

$\displaystyle \D{E_y}x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\D{B_z}t$	(170)
$\displaystyle \D{B_z}x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\mu_0\left(J_y+\varepsilon_0\D{E_y}t\right)$	(171)

$\displaystyle \D{E_z}x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \boldsymbol{j}\D{B_y}t$	(172)
$\displaystyle \D{B_y}x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \mu_0\left(J_z+\varepsilon_0\D{E_z}t\right)$	(173)

面積分という概念が一次元の差分の拡張であること、また、第12章でいくつかのパラドックスを示すが、こうした複雑な問題に対して定量的な考察を試みるには、一次元の世界が極めて便利であることから、あえて一次元の電磁気学を紹介した。