静電場との相似性

前章でも述べたように、電荷密度 $\rho$ はスカラーポテンシャルを作る。

$$\phi=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\int_VdV\,\frac\rho r$$ (5.1)

面電荷（surface charge）の場合は面積分、線電荷（line charge）の場合は線積分、 点電荷（point charge）の場合はよく知られた積分のない $Q/4\pi\varepsilon_0r$ の形になることはいうまでもないであろう。

同様に電流が源となってベクトルポテンシャルが発生するが、 そのようすは電荷がスカラーポテンシャルを発生するのと極めて似ている。 事実、ベクトルポテンシャルの式を三つの成分に分けると、 それぞれの式はスカラーポテンシャルの式とおなじ形をしている。 唯一異なるのは $1/\varepsilon_0$ が $\mu_0$ になっていること、 また、源が単位体積当りの電荷密度の代わりに単位面積当りの 電流密度（current density）になっていることである。 このことから、 源が電流密度の場合は、それを電荷密度だと思って静電場の解を求め、 その解の定数を変換すればよい。

この類推から、電流密度 $\emph J$ の作る ベクトルポテンシャル（vector potential）を求めることができる。

$$\emph A=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_VdV\,\frac{\emph J}r$$ (5.2)

つまり、クーロン型ポテンシャル（Coulomb type potential）となっている。 また、電荷のときと同じように、面電流（surface current）の場合は面積分、 線電流（line current）の場合は線積分で与えらえる。

上式からわかるように、微小電流の作るベクトルポテンシャルは、電流の方向と 同じ向きを向き、距離とともに減衰する場である。 この基本的な概念をよく掴んでいると、電流分布からベクトルポテンシャルの 概略の分布が推定できるようになるので、以下の例で慣れていただきたい。

なお、上記積分をするというのがベクトルポテンシャルの原理的な 計算法であるが、これから示すいくつかの問題のように、対称性のよい場合は、 静電場の計算のように、ベクトル場スカラー積面積分のガウスの定理（Gauss theorem of scalar product surface integral of vector field） を利用するのが便利なことが多い。