直線電流

$z$ 軸に沿って流れている直線状の直流電流 $I$ の作る磁場を 考えてみよう。 この磁場は、アンペールの周回積分の法則を用いて簡単に求めることができる。 しかし、練習のために、ベクトルポテンシャルから計算してみよう。

電流ベクトルを $x$、$y$、$z$ の三成分に分解してみると、 明らかに $z$ 成分しか持たない。 ベクトルポテンシャルの各成分は、電流の対応成分からしか 形成されないから、$A_z$ しか誘起されない。

まず、$1/r$ 型のポテンシャルの積分という形で、$A_z$ を計算してみよう。 観測点の座標を $(x\ y\ z)$ とし、また発散を避けるために、 電流路の長さを $-L$ から $L$ に限っておく。

$$A_z = \frac{\mu _0I}{4\pi}\int_{-L}^Ldl\frac1{\sqrt{x^2+y^2+(l-z)^2}} =... ...u _0I}{4\pi}\log\left[{\sqrt{x^2+y^2+(l-z)^2} +(l-z)}\right]\right\vert _{-L}^L$$

$$= \frac{\mu _0I}{4\pi}\log\frac{\sqrt{x^2+y^2+(L-z)^2}+(L-z)} {\sqr... ...L+z)^2}-(L+z)} \cong\frac{\mu _0I}{4\pi}\log\frac{2(L-z)}{(x^2+y^2)\ /\ 2(L+z)}$$

$$\cong \frac{\mu _0I}{2\pi}\log\frac{2L}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{\mu _0I}{2\pi}\log\frac{2L}r$$ (5.3)

が得られる。 本来 $L$ は $\infty$ であるべきであるが、 こうすると解が発散してしまう。 もともと、無限に長い電荷では、発散するのは当然の結果である。 しかし、無限大の電位ではいかんともできないので、今後の議論は、$L$ が十分大きいものとして、上式のままで進めていくものとする。 ここで、まず平方根を$L+z$ に対し他の項が小さいものとして一次近似し、 さらに $L$ に対し $z$ を無視した。

上の式は、スカラー積面積分の定理を利用すると、 もっと簡単に求めることができる。 電流の $z$ 成分は $z$ 軸上だけに $I$ の一定値を持つから、 対応する電荷モデルは $I$ の線電荷密度を持つ直線状一様電荷となる。 まず、これの作る電場を求める。

$$E=\frac I{2\pi\varepsilon_0}\frac1r$$ (5.4)

これを積分すると、スカラーポテンシャルが得られる。

$$\phi=\frac I{2\pi\varepsilon_0}\log\frac a r$$ (5.5)

この $\varepsilon_0\rightarrow1/\mu_0$ とすれば、 ベクトルポテンシャル $A_z$ が得られる。

$$A_z=\frac{\mu_0I}{2\pi}\log\frac a r$$ (5.6)

ここで $a$ は積分の際の基準点の原点から半径距離を表わす。 先に求めたものと比較すると、$a$ が $2L$ になっているだけである。 これは長さ $2L$ の線電流の作る場も、 原点近傍では無限長線電流の作る場とほとんど同じであり、 その影響がおよそ $2L$ 程度の範囲に広がっていることを示している。 いずれにせよ、ポテンシャルは微分して使われるので、$a$ でも $2L$ でも、利用の際は関係なくなる。

いうまでもなく、$A_x$ も $A_y$ も 0 であり、ベクトルポテンシャルは $z$ 方向を向く。 以上のことから、さきに述べたベクトルポテンシャルは電流源の方向を持ち、 遠方で減衰する形となることが理解できよう。

ベクトルポテンシャルの $\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits$ を計算すると、周りにできる磁場 $\emph B$ を求めることができる。

$$B_x = \D{A_z}y-\D{A_y}z=-\frac{\mu_0I}{2\pi}\frac y{r^2}$$

$$B_y = \D{A_x}z-\D{A_z}x=\frac{\mu_0I}{2\pi}\frac x{r^2}$$

$$B_z = \D{A_y}x-\D{A_x}y=0$$ (5.7)

これをまとめてベクトル表現すると、次のようになる。

$$\emph B =\frac{\mu_0I}{2\pi}\frac{\emph k\times\emph r}{r^2}$$ (5.8)

当たり前であるが、これはアンペールの法則から計算したものと一致する。