微小電流ループ

微小電流ループ（micro current loop）の作る磁場も、ベクトルポテンシャルを用いると、 簡単に計算することができる。 ループは平面的ではあるが、その形状は任意としよう。 簡単化のために、ループは $xy$ 平面内の原点付近にあるものとする。 流れている電流を $I$ とし、まず、電流の $x$ 成分に着目する。 すると電流と x 軸の角度を $\theta$ とするとき、 $I\cos\theta$ となる。 この分布は、前節と同様に、ループに囲まれた形状を持つ正負の一様帯電板を、 僅かにずらしたもので実現することができる。 面電荷密度を $\sigma$ とし、負の帯電板を $+y$ 方向に $\delta$ ずらすと、大部分の領域では正負が中和するが、$+y$ 方向の縁には負電荷が、また $-y$ 方向の縁には正電荷がはみ出す。 $\delta$ が十分小さければ、そのはみ出し量は正しく $\sigma\delta\cos\theta$ となり、 $\sigma\delta$ を$I$ に対応させればよいことがわかる。 このことから $-y$ 方向に分極した双極子が、 面状に並んでいるとみなすことができる。 まず、原点に置かれた双極子の作る電位を求める。

$$\phi=\frac Q{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} -... ...qrt{x^2+(y-\delta)^2+z^2}}\right) =-\frac{Q\delta}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac yr$$ (5.14)

この値は、十分遠方から見ると、 双極子の位置が僅かにずれてもほとんど変わらない。 そこで、これが面状に並んだ場合は、この $Q$ を単に合計し、 $\sigma S$ に替えればよい。 これから、微小ループの大きさに対し十分遠方での $A_x$ を求めることができる。 同様に$A_y$ も得られる。

$$A_x = -\frac{\mu_0IS}{4\pi}\,\frac yr$$

$$A_y = \frac{\mu_0IS}{4\pi}\,\frac xr$$ (5.15)

この場合も、電流がループ状に流れているため、 ベクトルポテンシャルもループ状になっている。 なお、遠方でのベクトルポテンシャルが電流とループの面積だけで与えられ、 ループの形状に依存しないことは興味深い結果である。