エネルギーの増減とポインティングベクトル

前節で電磁場の運動量の増減に関る式を誘導したが、 力に速度を掛けた式から、 電磁場のエネルギーの増減に関る式を誘導することができる。 ローレンツ力の式の両辺にvを内積の形で掛けると、磁界の項は消去され、 次式が得られる。

$$\emph F\cdot\emph v=Q\emph E\cdot\emph v$$ (6.17)

これから分布電荷に対する式として次式が得られる。

$$\emph f\cdot\emph v=\emph E\cdot\emph J$$ (6.18)

この右辺の$\emph J$を電磁場で置き換えてみよう。

$$\emph f\cdot\emph v = \emph E\cdot\emph J=-\emph E\cdot\left(-\frac1{\mu_0}\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph B +\varepsilon_0\D{\emph E}t\right)$$

$$= -\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \left(\frac1{... ...h ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph E) -\varepsilon_0\emph E\cdot\D{\emph E}t$$

$$= -\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \left(\frac1{... ...) -\frac1{\mu_0}\emph B\cdot\D{\emph B}t -\varepsilon_0\emph E\cdot\D{\emph E}t$$

$$= -\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \left(\frac1{... ...D{}t\left(\varepsilon_0\frac{\emph E^2}2 +\frac1{\mu_0}\frac{\emph B^2}2\right)$$ (6.19)

左辺は分布電荷の持つ運動エネルギー$U_K$の単位時間当りの増加量であるので、 次のようにまとめることができる。

$$\D{U_K}t=-\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \emph S-\D Ut$$ (6.20)

ただし、

$$\emph S = \frac1{\mu_0}\emph E\times\emph B$$ (6.21)

$$U = \varepsilon_0\frac{\emph E^2}2+\frac1{\mu_0}\frac{\emph B^2}2$$ (6.22)

ここで、S はポインティングベクトル（Poynting vector）と呼ばれる。 また、$U$は単位体積当りの電磁場のエネルギー（energy of electo-magnetic field）である。

体積積分をとり、適当に移項すると、電流連続の式と似た次式が得られる。

$$\int_S\emph{dS}\cdot\emph S=-\D{}t\int_VdV(U_K+U)$$ (6.23)

これから、ポインティングベクトルの発散積分が、 囲んだ体積の内部の運動エネルギーと電磁場エネルギーの減少になる。 つまり、ポインティングベクトルはエネルギーの流れであり、 単位面積当り、単位時間に流れるエネルギーと言える。

これらの関係は、前節と同様、物質がある場合も、 全電荷、全電流に対して成立する式である。 さらに、後述する相対性理論を使うと、前節の関係式と本節の関係式は、 一つの関係式に統合することができる。

ポインティングベクトルと電磁場運動量の定義は極めて似ている。 事実、次式が得られる。

$$\emph S=\frac1{\varepsilon_0\mu_0}\emph g=c^2\emph g$$ (6.24)

この比例関係は、後に学ぶ相対性原理より、 質量0で光速で運動する粒子の流れの場合に常に成立する関係である。 つまり、電磁場は質量0で光速で運動する粒子流とみなせることを暗示している。