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エネルギーの増減とポインティングベクトル

前節で電磁場の運動量の増減に関る式を誘導したが、 力に速度を掛けた式から、 電磁場のエネルギーの増減に関る式を誘導することができる。 ローレンツ力の式の両辺にvを内積の形で掛けると、磁界の項は消去され、 次式が得られる。

$\displaystyle \emph F\cdot\emph v=Q\emph E\cdot\emph v$ (6.17)

これから分布電荷に対する式として次式が得られる。

$\displaystyle \emph f\cdot\emph v=\emph E\cdot\emph J$ (6.18)

この右辺の$ \emph J$を電磁場で置き換えてみよう。

$\displaystyle \emph f\cdot\emph v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \emph E\cdot\emph J=-\emph E\cdot\left(-\frac1{\mu_0}\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph B
+\varepsilon_0\D{\emph E}t\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \left(\frac1{...
...h ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph E)
-\varepsilon_0\emph E\cdot\D{\emph E}t$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \left(\frac1{...
...)
-\frac1{\mu_0}\emph B\cdot\D{\emph B}t
-\varepsilon_0\emph E\cdot\D{\emph E}t$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \left(\frac1{...
...D{}t\left(\varepsilon_0\frac{\emph E^2}2
+\frac1{\mu_0}\frac{\emph B^2}2\right)$ (6.19)

左辺は分布電荷の持つ運動エネルギー$ U_K$の単位時間当りの増加量であるので、 次のようにまとめることができる。

$\displaystyle \D{U_K}t=-\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \emph S-\D Ut$ (6.20)

ただし、
$\displaystyle \emph S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac1{\mu_0}\emph E\times\emph B$ (6.21)
$\displaystyle U$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \varepsilon_0\frac{\emph E^2}2+\frac1{\mu_0}\frac{\emph B^2}2$ (6.22)

ここで、Sポインティングベクトル(Poynting vector)と呼ばれる。 また、$ U$は単位体積当りの電磁場のエネルギー(energy of electo-magnetic field)である。

体積積分をとり、適当に移項すると、電流連続の式と似た次式が得られる。

$\displaystyle \int_S\emph{dS}\cdot\emph S=-\D{}t\int_VdV(U_K+U)$ (6.23)

これから、ポインティングベクトルの発散積分が、 囲んだ体積の内部の運動エネルギーと電磁場エネルギーの減少になる。 つまり、ポインティングベクトルはエネルギーの流れであり、 単位面積当り、単位時間に流れるエネルギーと言える。

これらの関係は、前節と同様、物質がある場合も、 全電荷、全電流に対して成立する式である。 さらに、後述する相対性理論を使うと、前節の関係式と本節の関係式は、 一つの関係式に統合することができる。

ポインティングベクトルと電磁場運動量の定義は極めて似ている。 事実、次式が得られる。

$\displaystyle \emph S=\frac1{\varepsilon_0\mu_0}\emph g=c^2\emph g$ (6.24)

この比例関係は、後に学ぶ相対性原理より、 質量0で光速で運動する粒子の流れの場合に常に成立する関係である。 つまり、電磁場は質量0で光速で運動する粒子流とみなせることを暗示している。


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Yoichi OKABE 2008-03-29