電気双極子の作る電磁波

先程の類推から、電気双極子を考え、その二つの間を結ぶ直線上に交番する 電流を流して、電荷注入と引き抜きを行なう。 正電荷が $(0, 0, \delta/2)$に、負電荷が $(0, 0, -\delta/2)$ にあり、その間を電流が結んでいるものとする。 また、双極子の長さ $\delta$ は十分小さいとする。 電荷を微分すると電流になるので、ダイポールの大きさを $\emph p=p\emph{ k}$ とすると、以下のように与えられる。

$$Q(t) = \frac p\delta e^{j\omega t}$$ (7.3)

$$I(t) = \frac p\delta j\omega\,e^{j\omega t}$$ (7.4)

これらの作るポテンシャルは、定常的であることを考えると、次のような式で 計算できる。

$$\phi = \frac p{4\pi\varepsilon_0\delta}\left\{ \frac{e^{j\omega[t-r(\del... ...repsilon_0} (\emph p\cdot\mathop{\emph ▽}\nolimits )\frac{e^{j\omega(t-r/c)}}r$$

$$= \frac1{4\pi\varepsilon_0}e^{j\omega(t-r/c)} \left(1+\frac{j\omega}cr\right) \frac{(\emph p\cdot\emph r)\emph r}{r^3}$$ (7.5)

$$\emph A = \frac{\mu_0\emph p}{4\pi\delta}\int_{-\delta/2} ^{\delta/2}dz'\frac{j\omega e^{j\omega(t-r(z')/c)}} {\sqrt{(z'-z)^2+R^2}}$$

$$= \frac{\mu_0\emph p}{4\pi}\frac{j\omega}r\,e^{j\omega(t-r/c)}$$ (7.6)

ここで、$r(z')$ は次のように、観測点から $z$ 軸上 $z'$ にある 源点までの距離である。 $r(\delta/2)$、 $r(-\delta/2)$ なども同様である。

$$r(z')=\sqrt{(z-z')^2+R^2}$$ (7.7)

これらが作る電場および磁場は

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits }\nolimits [(\emph p\cdot\math... ...]=\emph p\frac1r\D{f}r+(\emph p \cdot\emph r)\emph r\frac1r\D{}r(\frac1r\D{f}r)$$ (7.8)

を用いて、次の 形で与えられる。

$$\emph E = -\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits }\nolimits \phi-\D{\emph A}t ... ...r/c)}}r\right]-\frac{\mu_0\emph p}{4\pi} \frac{j\omega}r\D{}te^{j\omega(t-r/c)}$$

$$= -\frac{e^{j\omega t}}{4\pi\varepsilon_0}\left[\emph p +\frac{\emp... ... r/c}}{r^3}\right] +\frac{\mu_0\emph p}{4\pi}\frac{\omega^2}re^{j\omega(t-r/c)}$$

$$= -\frac{e^{j\omega t}}{4\pi\varepsilon_0} \left\{\emph p\left(1+\f... ... -3\left(1+\frac{j\omega r}c\right)\frac{e^{-j\omega r/c}}{r^4} \right]\right\}$$

$$+\frac{\emph p}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\omega^2}{c^2r}e^{j\omega(t-r/c)}$$

$$= \frac1{4\pi\varepsilon_0} \left[\left(1+\frac{j\omega r}c\right) ... ...2}\frac{r^2\emph p-(\emph p\cdot\emph r) \emph r}{r^3}\right]e^{j\omega(t-r/c)}$$ (7.9)

$$\emph B = \mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph A=\frac... ...\times\emph p}r\frac{e^{j\omega(t-r/c)}}{r^2} \left(-\frac{j\omega r}c-1\right)$$

$$= j\omega\frac{\mu_0}{4\pi}\left(1+\frac{j\omega r}c\right) \frac{\emph p\times\emph r}{r^3}e^{j\omega(t-r/c)}$$ (7.10)

電場 E を見てみると、 $1/$距離$^3$、 $1/$距離$^2$、 $1/$距離$^1$ に比例して減衰する項があることがわかる。 最初の項のグループは双極子が作る静電場の式と一致している。 次のグループは近接場と呼ばれる。 最後のグループは、A の時間微分から出てきた項であり、 比例係数は $\mu_0\emph p/4\pi$ であったが、これを $\emph p/4 \pi\varepsilon_0c^2$ に書き換えている。 これは電磁波と呼ばれる。 これら三種類の電磁場は $c/\omega=\lambda/2\pi$ であることを 考えると、 $\lambda/2\pi$ ぐらいの距離で、互いにほぼ等しくなり、 それより遠方では電磁波、近接場、静電場の順に見えなくなっていく。

磁場 B は、 $1/$距離$^2$ と $1/$距離 の減衰項から 構成されているが、前者はビオ・サバールの法則に対応する微小電流要素の作る 静磁場そのものであり、後者は電磁波である。

非常に遠方では、電磁波のみしか観測されなくなるが、電場は $z$ 方向の 成分からのみなり、磁場は $z$ 軸を周回する方向の成分からのみなる。 また、これらの実部を見てみると、共に $\cos\omega(t-r/c)$ と、同相で 変化し、さらに電場が $z$ 方向を向くとき、磁場が $z$ 軸を周回するのと 逆方向を向く。

ポインティングベクトルは、E と B の実部同士の積から、 次のようになる。

$$\emph S=\frac1{\mu_0}{\rm Re}(\emph E)\times{\rm Re}(\emph B) =\e... ... c{\varepsilon_0}\left(\frac\omega c\right)^4\frac R{r^3} \cos^2[\omega(t-r/c)]$$ (7.11)

S は $1/$距離$^2$ に比例し、 その方向は常に電場と磁場の外積の方向、つまり $z$ 軸から離れる方向を向く。