均質な導体を考えよう。 この場合、次式が成立する。
| (7.26) |
この式の
をとり、左辺の
を
で置き換える。
また、右辺の
をガウスの法則の微分形を用いて
で置き換えて、まとめ直すと次式が得らえる。
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(7.27) |
この方程式を解くと、電荷はいたるところで次のように 減衰していくことがわかる。
| (7.28) |
大変不思議なことに、電荷が伝わっていくような様子が見えず、その場で
減衰していくかに見える。
実は電荷は、電荷の多いところから少いところへ逃げていくのであるが、
少いところの電荷ももっと少いところへ逃げていくので、全体が
減衰していくのである。
ただし、
が一様だと同じ形状を保って
減衰していくのは大変面白い結果である。
このような現象を誘電緩和(dielectric relaxation)と呼ぶ。
ところで、誘電緩和は明かに動的な動作にも関わらず、 光速というものがまったく表われてこない。 これは不思議な現象である。 例えば、最初に電荷を配置するとき、電荷を配置したという情報は光速でしか 伝わらないはずである。 この辺の正確な議論をするには、正に前節で述べた動的な解析が 必要となるのである。 この解答は直には得られないが、順を追って次節より説明を進めて行こう。 7.1
まず、原点に
で突然
の電荷が現れ、その後変化しない場合を
取り扱おう。
突然と言っても、過渡的な部分の解析もしたいので、
の
時間がかかったとし、
で
とする。
電荷だけが存在するので
となり、
のみを
計算すればよい。
電荷はクーロン場を発生するが、各観測点で感じるポテンシャルは、
ではまだ何も感じないし、それより
の間は電荷の立ち上がりを
感じ、さらにそれ以後では定常的なクーロン場を感じることになる。
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(7.29) |
同じ式を条件部分のみ書き直すと、時刻
でスナップショットを
撮ったときのポテンシャルの空間分布という形で表現できる。
原点近くでは定常的なクーロン場を感じ、やや遠方では電荷の立ち上がりを
感じ、
の遠方ではまだ電荷発生のことが伝わっていない。
ただし、条件を厳密に式で表わすと、次のようになっている。
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(7.31) |
これと
を組み合わせると、上式第 2 行の
遷移時間のところで、ローレンツ条件を満していない。
それは、そもそも電荷だけが突然あるところに出現することはなく、必ずそれに
対応する電流が流れていなければならず、それが作るベクトルポテンシャルを
無視しているからである。
これについては次節以後に述べる。