直線電流

$z$軸に沿って流れている直線状の直流電流$I$の作る磁場を 考えてみよう。 この磁場は、アンペールの周回積分の法則を用いて簡単に求めることができる。 しかし、練習のために、ベクトルポテンシャルから計算してみよう。

電流ベクトルを$x$、$y$、$z$の三成分に分解してみると、 明らかに$z$成分しか持たない。 ベクトルポテンシャルの各成分は、電流の対応成分からしか 形成されないから、$A_z$しか誘起されない。

まず、$1/r$型のポテンシャルの積分という形で、$A_z$ を計算してみよう。 観測点の座標を$(x, y, z)$とし、さらに $r=\sqrt{x^2+y^2}$とする。 また発散を避けるために、電流路の長さを$-L$から$L$に限っておく。

$$A_z = \frac{\mu _0I}{4\pi}\int_{-L}^Ldl\frac1{\sqrt{(l-z)^2+r^2}}$$

$$= \left.\frac{\mu _0I}{4\pi}\log\left[{\sqrt{(l-z)^2+r^2} +(l-z)}\right]\right\vert _{-L}^L$$

$$= \frac{\mu _0I}{4\pi}\log\frac{\sqrt{(L-z)^2+r^2}+(L-z)} {\sqrt{(L+z)^2+r^2}-(L+z)}$$

$$\doteqdot \frac{\mu _0I}{2\pi}\log\frac{2(L-z)+r^2/2(L-z)}{r^2/2(L+z)}$$

$$\doteqdot \frac{\mu _0I}{2\pi}\log\frac{2L}r =\frac{\mu _0I}{2\pi}\log\frac{2L}r$$ (280)

ここで、最初の近似では$L\pm z$に対し$r$が十分小さいとして平方根を近似し、 次の近似では、$L$に対し$r$や$z$が十分小さいとしている。

本来$L$は$\infty$であるべきであるが、 こうすると解が発散してしまう。 もともと、無限に長い電荷では、発散するのは当然の結果である。 しかし、無限大の電位ではいかんともできないので、今後の議論は、$L$ が十分大きいものとして、上式のままで進めていくものとする。 ここで、まず平方根を$L+z$に対し他の項が小さいものとして一次近似し、 さらに$L$に対し$z$を無視した。

上の式は、内積面積分の定理を利用すると、 もっと簡単に求めることができる。 電流の$z$成分は$z$軸上だけに$I$の一定値を持つから、 対応する電荷モデルは$I$の線電荷密度を持つ直線状一様電荷となる。 まず、これの作る電場を求める。

$$E=\frac I{2\pi\varepsilon_0}\frac1r$$ (281)

これを積分すると、スカラーポテンシャルが得られる。

$$\phi=\frac I{2\pi\varepsilon_0}\log\frac a r$$ (282)

この $\varepsilon_0\rightarrow1/\mu_0$とすれば、 ベクトルポテンシャル$A_z$が得られる。

$$A_z=\frac{\mu_0I}{2\pi}\log\frac a r$$ (283)

ここで$a$は積分の際の基準点の原点から半径距離を表す。 先に求めたものと比較すると、$a$が$2L$になっているだけである。 これは長さ$2L$の線電流の作る場も、 原点近傍では無限長線電流の作る場とほとんど同じであり、 その影響がおよそ$2L$程度の範囲に拡がっていることを示している。 いずれにせよ、ポテンシャルは微分して使われるので、$a$でも$2L$ でも、利用の際は関係なくなる。

いうまでもなく、$A_x$も$A_y$も0であり、 ベクトルポテンシャルは$z$方向を向く。 以上のことから、さきに述べたベクトルポテンシャルは電流源の方向を持ち、 遠方で減衰する形となることが理解できよう。

ベクトルポテンシャルの $\mathop\emph{\text{rot}}\nolimits$を計算すると、 まわりにできる磁場 $\boldsymbol {B}$を求めることができる。

$$B_x = \D{A_z}y-\D{A_y}z=-\frac{\mu_0I}{2\pi}\frac y{r^2}$$

$$B_y = \D{A_x}z-\D{A_z}x=\frac{\mu_0I}{2\pi}\frac x{r^2}$$

$$B_z = \D{A_y}x-\D{A_x}y=0$$ (284)

これをまとめてベクトル表現すると、次のようになる。

$$\boldsymbol{B} =\frac{\mu_0I}{2\pi}\frac{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{r}}{r^2}$$ (285)

あたり前であるが、これはアンペールの法則から計算したものと一致する。 計算したベクトルポテンシャルと磁場の概要を図 7.1に示す。

図 7.1: 直線電流が作るベクトルポテンシャル（実線）と磁場（破線）の概要。