フラクソイドの量子化

超伝導は巨視的量子効果によって、多数の電子を持ちながら一つの量子状態に 陥るため Bohr の量子条件のような磁束 (厳密にはフラクソイド) の 量子化現象が発生する。

一つの量子状態なので $\Psi({\rm r})$ のように記述することができる。 しかも電荷密度は中性条件から $n$ とほぼ固定になっているので、 $\Psi( {\rm r})=\sqrt n\exp(i\theta({\rm r}))$ と記載することができる。 そこで $p=-i\hbar\mathop{\emph ▽}\nolimits$ なる演算子をこれに施すと、 $\hbar\mathop{\emph ▽}\nolimits \theta\sqrt n\exp(i\theta({\rm r}))=\hbar\mathop{\emph ▽}\nolimits \theta\Psi({\rm r})$ となる。 つまり $p=\hbar\mathop{\emph ▽}\nolimits \theta$ としてよい。 例えばルー プ状の超伝導体を辿って一周すると、位相 $\theta$ は 矛盾してはいけないから $\theta$ の変化は $2\pi$ の整数倍に 限られることになる。 これより

$$\int\emph{dr}\cdot\emph p=2n\pi\hbar=nh$$ (8.33)

が導かれる。 なお、この式の最後の等号以後は $\hbar$ の替りに $h/2\pi$ を 用いることとする。 $q{\rm grad}V=d\emph p/dt$ より、 $\int dt\Delta V=\int\emph{dr} \cdot\emph p/q$ である。 この電圧の時間積分を フラクソイド（fluxoid） $\Phi$ と呼ぼう。

$$\Phi=\int dt V$$ (8.34)

これより、上式は次のように置き換えられる。

$$\Delta\Phi=\frac1q\int\emph{dr}\cdot\emph p =\frac h{2\pi q}\Delta\theta$$ (8.35)

ここで、 $\Delta\Phi$ や $\Delta\theta$ は、線積分路の終点と 始点における差である。 これより

$$\Delta\Phi = n\frac hq = n\Phi_0$$ (8.36)

である。 言うまでもなく $\Phi_0=h/q$ である。 超伝導体中では電子二個がクーパーペアを作っているので $\Phi_0=h/2e= 2\times10^{-12}$Wb である。 これを磁束量子（flux quantum）という。 英語を見るとフラクソイド量子であるが、日本語では磁束量子と呼んでいる。

もし、フラクソイドの概念を使うならば、前節最後の式は次のように 書くことができる。

$$\Delta\Phi=\frac{M}{nq^2}\int\emph{dr}\cdot\emph J +\int\emph{dr}\cdot\emph A$$ (8.37)

この線積分を閉ループに対して行なえば

$$n\Phi_0 = \frac{M}{nq^2}\int\emph{dr}\cdot\emph J + \Phi_m$$ (8.38)

左辺は量子化を示している。 また、第二項はベクトルポテンシャルの線積分が、ループを鎖交する磁束 $\Phi_m$ になっていることを利用している。 例えば、第二項が支配的な場合には、鎖交磁束が磁束量子の整数倍になる。 これが真の意味での磁束の量子化である。 また、第一項が支配的な場合には、Bohr の量子条件と呼ばれる力学的運動量の 量子条件が得られる。 一般にはフラクソイドの量子化となる。