導体表面でのポテンシャル

導体の表面を考えよう。 ここで、表面を挟むように置かれた円板状の領域を考える。 ここで、電磁誘導の式の積分形を適用してみる。 電場の表面垂直方向の成分は外積に効かないこと、導体内の電場は 0 であること、円板は十分薄いことから、 その体積積分は限りなく小さくできることを考慮すると、 導体外の電場に対し、次の式が得られる。

$$\emph E_t=0$$ (9.5)

また、同じ形状の領域に、磁場の発散が 0 の積分形を適用してみると、 磁場の表面平行の成分は内積に効かないこと、導体内の磁場は 0 であることから次の式が得られる。

$$B_n=0$$ (9.6)

これら二つの式が、導体表面付近の空間側の電場磁場が満すべき条件である。 空間中の電磁場に対し、これらの条件は境界条件（boundary condition）と呼ばれる。

さらに、同じ円板状の領域に電場の発散の積分形を適用してみると、 面電荷密度に関する次の式が得られる。

$$\sigma=\varepsilon_0E_n$$ (9.7)

同様に、磁場の回転の積分形を適用してみると、 面電流密度に関する次の式が得られる。

$$\emph K=\frac1{\mu_0}\emph n\times\emph B_t$$ (9.8)

次に導体内のポテンシャルについて考えよう。 このとき次の式が成立する。

$$\emph E =-\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits }\nolimits \phi-j\omega\emph A=0$$ (9.9)

$$\emph B =\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph A=0$$ (9.10)

第 2 式より $\emph A$ を適当なスカラー関数 $\phi$ の勾配で表わすことができる。

$$\emph A=\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits }\nolimits \chi$$ (9.11)

これを第 1 式に代入すると、次式を得ることができる。

$$\phi=-j\omega\chi$$ (9.12)

特に準静的（quasi-static (adj.)）な場合には、 $\omega\rightarrow0$ であるので、 $\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits }\nolimits \phi=0$ となり、$\phi=$const となる。

導体表面では、これらのポテンシャルがそのまま、 導体外へも接続していくことになるが、$E_n$、$\emph B_t$ とも導体表面に誘導された電荷分、電流分の不連続を持っている。 前者の不連続は $\partial\phi/\partial n$ の不連続で説明でき、 後者の不連続は $\partial\emph A_t/\partial n$ の不連続で説明できる。