TEM モード

まず、もっとも易しい TEM モードから議論しよう。 TEM モードは方形導波管では発生しないので、$y=0, b$ に平行に導体の置かれたストリップ線路で考えよう。 もっとも簡単なモードは、上下の導体間に $y$ 方向に一様な電場が発生する場合である。

ファラデーゲージのベクトルポテンシャルは電場に比例するので、 電場と同じく $y$ 成分のみを持つ。

$$\phi =0$$ (9.42)

$$\emph A =\alpha e^{j(\omega t-kz)}\,(\,0,\,1,\,0\,)$$ (9.43)

ここで、$A_z$ はローレンツ条件を利用して、$\emph A_t$ から求めた。

$A_y$ が波動方程式を満していることから次の式が成立する。

$$\frac{\omega^2}{c^2}=k^2$$ (9.44)

進行波のみを対象にすると、$\omega=ck$ である。 これらから、ストリップ線路内の電磁場を求めると、

$$\emph E =\alpha e^{j(\omega t-kz)}\,(\,0,\,-j\omega,\,0\,)$$ (9.45)

$$\emph B =\alpha e^{j(\omega t-kz)}\,(\,jk,\,0,\,0\,)$$ (9.46)

導体表面での $E_n$、$\emph B_t$ より、 面電荷密度、面電流密度を計算することができる。 ストリップ線路表面に発生する面電荷密度は上面と下面に正負対称に発生するが、 下面では次のようになる。

$$\sigma =-j\omega\varepsilon_0\alpha e^{j(\omega t-kz)}$$ (9.47)

$$K_z =-jk\frac1{\mu_0}\alpha e^{j(\omega t-kz)}$$ (9.48)

導体内のポテンシャルは、空間の $\emph A_t$ を導体内まで延長し、 そこで、$\chi$ を求め、それらの微分から計算する。 その結果は次のようになる。

$$\chi=\alpha e^{j(\omega t-kz)}\,y$$ (9.49)

$$\phi =-j\omega\alpha e^{j(\omega t-kz)}\,y$$ (9.50)

$$\emph A =\alpha e^{j(\omega t-kz)}\,(\,0,\,1,\,jky\,)$$ (9.51)

以上で、ストリップ線路内の TEM モードのポテンシャルと電磁場の計算は終了する。

しかし、ここで得られた面電荷と面電流を利用すると、 面電荷が作るスカラーポテンシャルと ベクトルポテンシャルは面電流が作るという、 原理原則に基づくポテンシャルが計算できる。 これらはそれぞれ波動方程式を満すが、角周波数 $\omega$、$z$ 方向の角波数 $k$ を仮定しているので、$x$ と $y$ の二階微分のみが生き残る。 さらに $x$ 方向に変動のない解を対象としているので $y$ の二階微分のみが生き残る。 これよりこれらのポテンシャルは源のあるところを除いて $y$ の一次式で与えらえることが導かれる。 $y=0$ と $y=a$ に存在する源が作り出す対称な場を加えることになるので、

$$\phi =-j\omega\alpha e^{j(\omega t-kz)}\left\{ \begin{array}{ll}0 ... ...q0) \\ y & (0\leq y\leq a) \\ a & (a\leq y) \end{array}\right.$$ (9.52)

$$A_z =-jk\alpha e^{j(\omega t-kz)}\left\{ \begin{array}{ll}0 & (y\leq0) \\ y & (0\leq y\leq a) \\ a & (a\leq y) \end{array}\right.$$ (9.53)

が得られる。 これらが作る電磁場や面電荷、面電流が前半の議論のものと一致する。