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TE モード

同様な手順で、まず電場に比例した ファラデーゲージのベクトルポテンシャルから始めよう。 $ E_z=0$ より、$ A_z=0$ である。 したがって $ A_x$$ A_y$ のみを求めればよい。 これらは、それぞれ波動方程式を満さなければならないので、 $ x$$ y$ 方向に正弦波関数の形となる。 また境界条件より、$ A_x$$ y=0, b$ で 0、 $ \partial A_x/\partial x$$ x=0, a$ で 0 でなければならない。 これらの条件から、次の形が得られる。

$\displaystyle \emph A= e^{j(\omega t-kz)}\left( \alpha\cos\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b,\, \beta\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b,\,0\right)$ (9.54)

ローレンツ条件より $ \alpha(m\pi/a)+\beta(n\pi/b)=0$ となる。 これより、次のように書き替えてよい。

$\displaystyle \emph A=\alpha e^{j(\omega t-kz)}\,\left( -\frac{n\pi}b\cos\frac{...
...in\frac{n\pi y}b,\, \frac{m\pi}a\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b,\,0\right)$ (9.55)

もちろん、$ \alpha$ は再定義されている。

$ A_x, A_y$ が波動方程式を満していることから次の式が成立する。

$\displaystyle \left(\frac\omega c\right)^2= \left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2+k^2$ (9.56)

また、これらより、導波管内の電磁場を求めることができる。
  $\displaystyle \emph E=\alpha e^{j(\omega t-kz)}\,$ $\displaystyle \left(\,
j\omega\frac{n\pi}b\cos\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b,\,
-j\omega\frac{m\pi}a\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b,\,
0\,\right)$ (9.57)
  $\displaystyle \emph B=\alpha e^{j(\omega t-kz)}\,$ $\displaystyle \left(\,
jk\frac{m\pi}a\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b,\,
jk\frac{n\pi}b\cos\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b,\,
\right.$  
    $\displaystyle \left.\left[
\left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2
\right]
\cos\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b\,\right)$ (9.58)

これから、導体表面の面電荷密度と面電流密度を求めることができる。 まず下面の値を示す。

  $\displaystyle \rho=-\varepsilon_0\alpha j\omega e^{j(\omega t-kz)}\,$ $\displaystyle \frac{m\pi}a\sin\frac{m\pi x}a$ (9.59)
  $\displaystyle \emph K_t=\alpha\frac1{\mu_0}e^{j(\omega t-kz)}\,$ $\displaystyle \left(\,
\left[\left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2
\right]
\cos\frac{m\pi x}a,\,0,\,-jk\frac{m\pi}a\sin\frac{m\pi x}a
\,\right)$ (9.60)

上面の値は、$ n$ が偶数のとき反対称、奇数のとき対称となる。

また、左面の値は次のようになる。

  $\displaystyle \rho=\alpha\varepsilon_0j\omega e^{j(\omega t-kz)}\,$ $\displaystyle j\omega\frac{n\pi}b\sin\frac{n\pi y}b$ (9.61)
  $\displaystyle \emph K_t=\alpha\frac1{\mu_0}e^{j(\omega t-kz)}\,$ $\displaystyle \left(\,0,\,
-\left[
\left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2
\right]\cos\frac{n\pi y}b,\,
jk\frac{n\pi}b\sin\frac{n\pi x}b\,\right)$ (9.62)

右面の値は、$ m$ が偶数のとき反対称、奇数のとき対称となる。


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Yoichi OKABE 2008-03-29