TE モード

同様な手順で、まず電場に比例した ファラデーゲージのベクトルポテンシャルから始めよう。 $E_z=0$ より、$A_z=0$ である。 したがって $A_x$ と $A_y$ のみを求めればよい。 これらは、それぞれ波動方程式を満さなければならないので、 $x$、$y$ 方向に正弦波関数の形となる。 また境界条件より、$A_x$ は $y=0, b$ で 0、 $\partial A_x/\partial x$ は $x=0, a$ で 0 でなければならない。 これらの条件から、次の形が得られる。

$$\emph A= e^{j(\omega t-kz)}\left( \alpha\cos\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b,\, \beta\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b,\,0\right)$$ (9.54)

ローレンツ条件より $\alpha(m\pi/a)+\beta(n\pi/b)=0$ となる。 これより、次のように書き替えてよい。

$$\emph A=\alpha e^{j(\omega t-kz)}\,\left( -\frac{n\pi}b\cos\frac{... ...in\frac{n\pi y}b,\, \frac{m\pi}a\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b,\,0\right)$$ (9.55)

もちろん、$\alpha$ は再定義されている。

$A_x, A_y$ が波動方程式を満していることから次の式が成立する。

$$\left(\frac\omega c\right)^2= \left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2+k^2$$ (9.56)

また、これらより、導波管内の電磁場を求めることができる。

$$\emph E=\alpha e^{j(\omega t-kz)}\, \left(\, j\omega\frac{n\pi}b\cos\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b,\, -j\omega\frac{m\pi}a\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b,\, 0\,\right)$$ (9.57)

$$\emph B=\alpha e^{j(\omega t-kz)}\, \left(\, jk\frac{m\pi}a\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b,\, jk\frac{n\pi}b\cos\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b,\, \right.$$

$$\left.\left[ \left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2 \right] \cos\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b\,\right)$$ (9.58)

これから、導体表面の面電荷密度と面電流密度を求めることができる。 まず下面の値を示す。

$$\rho=-\varepsilon_0\alpha j\omega e^{j(\omega t-kz)}\, \frac{m\pi}a\sin\frac{m\pi x}a$$ (9.59)

$$\emph K_t=\alpha\frac1{\mu_0}e^{j(\omega t-kz)}\, \left(\, \left[\left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2 \right] \cos\frac{m\pi x}a,\,0,\,-jk\frac{m\pi}a\sin\frac{m\pi x}a \,\right)$$ (9.60)

上面の値は、$n$ が偶数のとき反対称、奇数のとき対称となる。

また、左面の値は次のようになる。

$$\rho=\alpha\varepsilon_0j\omega e^{j(\omega t-kz)}\, j\omega\frac{n\pi}b\sin\frac{n\pi y}b$$ (9.61)

$$\emph K_t=\alpha\frac1{\mu_0}e^{j(\omega t-kz)}\, \left(\,0,\, -\left[ \left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2 \right]\cos\frac{n\pi y}b,\, jk\frac{n\pi}b\sin\frac{n\pi x}b\,\right)$$ (9.62)

右面の値は、$m$ が偶数のとき反対称、奇数のとき対称となる。