TM モード

同じく方形導波管での TM$_{mn}$ モードは、$\emph A$ のすべての成分が存在しうる。 境界条件を満す解は次のようになる。

$$\emph A= e^{j(\omega t-kz)}\left( \alpha\cos\frac{m\pi x}a\sin\fr... ...pi x}a\cos\frac{n\pi y}b,\, \gamma\sin\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b\,\right)$$ (9.63)

$(\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph A)_z=0$ より、$A_x$ と $A_y$ には関係がでてくる。 また、ローレンツ条件が成立することから、次の形のみが許される。

$$\emph A =\frac\alpha{j\omega}\,e^{j(\omega t-kz)}\, \left( jk\frac{m\pi}a\cos\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b,\, jk\frac{n\pi}b\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b,\, \right.$$

$$\left.\left[ \left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2 \right]\sin\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b\,\right)$$ (9.64)

もちろん、$\alpha$ は再定義されている。また分母の $j\omega$ は 以後のほぼすべての計算結果に表われる $j\omega$ を消すためである。

$A_x, A_y$ が波動方程式を満していることから次の式が成立する。

$$\left(\frac\omega c\right)^2= \left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2+k^2$$ (9.65)

また、これらより、導波管内の電磁場を求めることができる。

$$\emph E=\alpha e^{j(\omega t-kz)}\, \left( -jk\frac{m\pi}a\cos\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b, \, -jk\frac{n\pi}b\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b, \, \right.$$

$$\left.-\left[ \left(\frac{m\pi}a\right)^2+\left(\frac{n\pi}b\right)^2 \right]\sin\frac{m\pi y}a\sin\frac{n\pi y}b\,\right)$$ (9.66)

$$\emph B=\alpha e^{j(\omega t-kz)}\, \left( \frac{j\omega}{c^2}\frac{n\pi}b\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac... ...frac{j\omega}{c^2}\frac{m\pi}a\cos\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b, \, 0\right)$$ (9.67)

これから、導体表面の面電荷密度と面電流密度を求めることができる。 まず下面の値を示す。

$$\rho=-\varepsilon_0\alpha jk e^{j(\omega t-kz)}\, \frac{n\pi}b\sin\frac{m\pi x}a$$ (9.68)

$$\emph K_t=\alpha\frac1{\mu_0}e^{j(\omega t-kz)}\, \left(\,0,\, 0,\, -\frac{j\omega}{c^2}\frac{n\pi}b\sin\frac{m\pi x}a\cos\frac{n\pi y}b \,\right)$$ (9.69)

上面の値は、$n$ が偶数のとき反対称、奇数のとき対称となる。

また、左面の値は次のようになる。

$$\rho=\alpha\varepsilon_0j\omega e^{j(\omega t-kz)}\, j\omega\frac{n\pi}b\sin\frac{n\pi y}b$$ (9.70)

$$\emph K_t=\alpha\frac1{\mu_0}e^{j(\omega t-kz)}\, \left(\,0,\, 0,\, \frac{j\omega}{c^2}\frac{m\pi}a\cos\frac{m\pi x}a\sin\frac{n\pi y}b \,\right)$$ (9.71)

右面の値は、$m$ が偶数のとき反対称、奇数のとき対称となる。 どの壁面でも $K_z$ しかないことに注意して欲しい。