平行平板コンデンサに挿入された誘電体に働く力

Figure 11.1: 平行平板コンデンサに挿入された誘電体

平行平板コンデンサに側方から中途まで入れられた誘電体に働く力の計算は、 仮想変位による静電エネルギーの変化から算出される。 図11.1、極板には$Q$なる一定の電荷が溜っており、 極板の横から見た長さを$L$とする。 極板間に、横から$x$まで誘電体が埋め尽していたとする。 このとき、コンデンサの容量は、 $C=(\varepsilon x+\varepsilon_0(L-x))W/d$である。 ただし、極板の奥行を$W$、間隔を$d$とした。 したがってこのコンデンサに蓄えられている静電エネルギーは $U=Q^2/2C=Q^2d/2W(\varepsilon x+\varepsilon_0(L-x))$である。 これより、誘電体は$F=-dU/dx$なる力で、 コンデンサ内に引き込まれるという結果が得られる。

さて問題は、このとき、各点のクーロン力を求めてみると、 いずれでも電場は極板に垂直であり横に引き込む成分を持っていない。 横向きの成分を持っていないのに、 何故誘電体は横向きの力を感じるのであろうか。

問題を簡単にするために、 $\varepsilon\rightarrow\infty$とすると、 誘電体中には電場がほとんど無くなるため、 誘電体を表面を薄く絶縁された金属に置き換えることができるので、 それで考えよ。