動的な場

あと二つの重要な法則は、動的なものである。 まず、磁場が変化するとき、 そのまわりを取り囲む配線上に起電力（electro-motive force）が生ずるというもので、 次のファラデーの法則（Faraday law）で与えられる。

$$\oint_{\text C}d\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{E} =-\D{}t\int_{\text S}d\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{B}$$ (12)

ここでSは任意の閉曲線Cによって囲まれた曲面である。 この法則は、最初は配線の存在する場合に確認されたが、 やがて、配線のない空間にも電場が発生し、それが上式を満たすことが確認された。 この法則を考慮し、電場の回転は修正され、 式1.5および式1.6には 磁場の影響が組み込まれる。

$$(\boldsymbol{E} ) \hspace{3em} \oint_{\text S}d\boldsymbol{S}\times\boldsymbol{E}=-\D{}t\int_{\text V}dV\,\boldsymbol{B}$$ (13)

$$(\boldsymbol{E} ) \hspace{3em} \mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{E}=-\D{\boldsymbol{B}}t$$ (14)

最後の法則として、電流については電荷の減少につながるという 電流連続の法則（current continuity law）が成立する。

$$(\boldsymbol{J} ) \hspace{3em} \oint_{\text S}d\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{J}=-\D{}t\int_v dv\,\rho$$ (15)

$$(\boldsymbol{J} ) \hspace{3em} \mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{J}+\D\rho t=0$$ (16)

これに矛盾しないようにするためには、磁場の回転を修正する必要があり、 式1.8および式1.9は次式のようになる。

$$(\boldsymbol{B} ) \hspace{3em} \oint_{\text S}d\boldsymbol{S}\times\boldsymbol{B}=\mu_0\int_{\text V}dV\left(\boldsymbol{J} +\varepsilon_0\D{\boldsymbol{E}}t\right)$$ (17)

$$(\boldsymbol{B} ) \hspace{3em} \mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}+\mu_0\varepsilon_0\D{\boldsymbol{E}}t$$ (18)

式1.18の右辺に現れる電場の時間微分 $\varepsilon_0\partial\boldsymbol{E}/\partial t$は、 変位電流（displacement current）と呼ばれ、マクスウェル（Maxwell）が理論的に導入したものである。

$\boldsymbol{E}$、 $\boldsymbol {B}$の発散、回転を与える微分型の四つの式は、 マクスウェル方程式（Maxwell equations）と呼ばれ、電磁気学の基礎方程式である。