電磁気学の相対論

ローレンツ力の四元化をしてみよう。

$$\boldsymbol{F}=Q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$$

を四元化しようとすると、まず $\boldsymbol{v}$が気になる。 これを四元速度の成分 $v^1,v^2,v^3$にするには全体を$\gamma_v$ 倍すればよさそうである。 こうすると $\boldsymbol{F}$、 $\boldsymbol{v}$が四元速度になるだけでなく、 右辺第一項の $\gamma_v\boldsymbol{E}$も、 $v^4(\boldsymbol{E}/c)$と記載できるようになる。

ローレンツ力の式の両辺に $\boldsymbol{v}$を内積として掛けてみよう。

$$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}=Q\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{E}$$

これを $\gamma_v/c$倍すると次式のように四元力の時間項となる。

$$F^4=\gamma_v\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}/c=Q(v^1E_x/c+v^2E_y/c+v^3E_z/c)$$ (497)

このように、四元力$F^n$を $(\gamma_v\boldsymbol{F},\ \gamma_v\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v})$ とすると、ローレンツ力は次にようにまとめることができる。

$$F^n=QB^n_m v^m$$ (498)

ただし、$B^n_m$は電磁テンソル（electromagnetic tensor）と呼ばれ、次のように定義される。

$$(B^n_m)=\left(\begin{array}{cccc} 0 & B_z & -B_y & E_x/c \\ -B_z ... ...E_y/c \\ B_y & -B_x & 0 & E_z/c \\ E_x/c & E_y/c & E_z/c & 0 \end{array}\right)$$ (499)

第四行と四元速度の積は、式11.36に対応する。 また、これから導かれる反変テンソル $B^{nm}=B^n_l g^{lm}$、 共変テンソル $B_{nm}=g_{nl}B^l_m$も、 今後使われるので示しておこう。

$$(B^{nm})=\left(\begin{array}{cccc} 0 & B_z & -B_y & -E_x/c \\ -B_... ..._y/c \\ B_y & -B_x & 0 & -E_z/c \\ E_x/c & E_y/c & E_z/c & 0 \end{array}\right)$$ (500)

この場合には第四列のみが符号反転している。

$$(B_{nm})=\left(\begin{array}{cccc} 0 & B_z & -B_y & E_x/c \\ -B_z... .../c \\ B_y & -B_x & 0 & E_z/c \\ -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c & 0 \end{array}\right)$$ (501)

この場合には第四行のみが符号反転している。 $B^{nm}$も$B_{nm}$も、反対称テンソルになっていることに注意してほしい。 このように、反変テンソル、共変テンソル、混合テンソルと複数存在するのは、 やや面倒であるが、第四列か第四行の符号が反転するだけであり、 また式の変形に当たっても、$g$を掛けるだけで簡単に変更できるので、 慣れてほしい。

さて、このテンソルの各成分には電場や磁場の成分が入っているが、 電場や磁場は、相対論の世界では、どうやってもベクトルで表現することができず、 このように$4\times4$のテンソルになってしまうのである。 この後に現れるポテンシャルが、簡単なベクトルで表されることを考慮すると、 ここでも、ポテンシャルのほうが根源的な量であることを、感じざるを得ない。

電磁場を四元テンソルで表したが、マクスウェル方程式を、 この電磁テンソルを使って表してみよう。 電荷や電流などの源との関連の $\mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{E}$式および $\mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{B}$式は、 次のようになる。

$$\partial_mB^{nm}=\mu_0J^n$$ (502)

ただし、$J^n$の成分は $(\boldsymbol{J},\ c\rho)$である。 一方、源の入っていない $\mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{E}$式および $\mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{B}$式は、 やや複雑な表現で与えられる。

$$\partial_l B_{nm}+\partial_n B_{ml}+\partial_m B_{ln}=0$$ (503)

やや形式的であるが、この式は完全反対称テンソル（antisymmetric tensor）と呼ばれる $\epsilon^{nmlk}$を使って、 アインシュタイン規約の形で書くことも可能であるが、 これが $4\times4\times4\times4$のテンソル であることもあり、必ずしも見やすい形ではなため、あくまでも参考のために示す。

$$\epsilon^{nmlk}\partial_m B_{lk}=0$$ (504)

なお、 $\epsilon^{nmlk}$は サフィックスが$(1,2,3,4)$のとき1、 サフィックスがこの偶置換で与えられるときも1、奇置換になっているときは$-1$、 その他では0と定義されている。

ローレンツ力の座標変換を考えてみよう。 この際、速度もローレンツ変換されるが、 $B^n_m$も変換されるとしないと、うまく行かない。 式11.37の左から順変換係数を掛けると、 左右はローレンツ変換される。

$$F^\nu = u^\nu_n F^n =Qu^\nu_n B^n_m v^m =Qu^\nu_n B^n_m\left(u^m_\mu u^\mu_l\right)v^l$$

$$= Q\left(u^\nu_n B^n_mu^m_\mu\right) \left(u^\mu_l v^l\right)$$

第三の等号の際、$B^n_m$と$v^m$の間に $\left(u^m_\mu u^\mu_l\right)$を入れたが、 $(\partial x^m/\partial x^\mu)(\partial x^\mu/\partial x^l) =\delta^m_l$であり、さらに $\delta^m_lv^l =v^m$となることに注意してほしい。 これより、$B$に対する変換則が得られる。

$$B^\nu_\mu=u^\nu_n B^n_m u^m_\mu$$ (505)

この変換則を利用すると、$B$の座標変換が計算できる。

$$\left(B^\nu_\mu\right) = \left(u^\nu_n B^n_mu^m_\mu\right) =\left(u^\nu_n B^n_m\right)\left(u^m_\mu\right)$$

$$= \left(\begin{array}{cccc} -\gamma\beta E_x/c & \gamma(B_z-\beta E... ...ma(E_z/c+\beta B_y) & -\gamma\beta E_x/c \end{array}\right)\left(u^m_\mu\right)$$

$$= \left(\begin{array}{cccc} 0 & \gamma(B_z-\beta E_y/c) & -\gamma(B... ..._x/c & \gamma(E_y/c-\beta B_z) & \gamma(E_z/c+\beta B_y) & 0 \end{array}\right)$$

これより、電磁場の各成分の変換則は次のようになる。

$$B'_x = B_x$$

$$B'_y = \gamma(B_y+\beta E_z/c)$$

$$B'_z = \gamma(B_z-\beta E_y/c)$$ (506)

$$E'_x/c = E_x/c$$

$$E'_y/c = \gamma(E_y/c-\beta B_z)$$

$$E'_z/c = \gamma(E_z/c+\beta B_y)$$ (507)

これらの式は、座標の移動方向とそれに垂直な成分に分けることにより、 次のように表すこともできる。

$$\boldsymbol{B}'_{\Vert} = \boldsymbol{B}_{\Vert}$$

$$\boldsymbol{B}'_{\bot} = \gamma\left(\boldsymbol{B}-\frac{\boldsymbol{v}}c\times\frac{\boldsymbol{E}}c\right)_{\bot}$$ (508)

$$\frac{\boldsymbol{E}'_{\Vert}}c = \frac{\boldsymbol{E}_{\Vert}}c$$

$$\frac{\boldsymbol{E}'_{\bot}}c = \gamma\left(\frac{\boldsymbol{E}}c+\frac{\boldsymbol{v}}c\times\boldsymbol{B}\right)_{\bot}$$ (509)

次にポテンシャルの四元化を考えてみよう。 式11.40の電磁テンソルをポテンシャルで表現すると、次式のようになる。

$$B_{nm}=\partial_n A_m-\partial_m A_n$$ (510)

ここで、$A_n$の成分は $(\boldsymbol{A}, \ -\phi/c)$である。 これを昇階して、式11.41に代入すると、次式となる。

$$\partial_m\left(\partial^n A^m-\partial^m A^n\right) =\partial^n\left(\partial_m A^m\right) -\partial_m\partial^m A^n=\mu_0J^n$$ (511)

昇階の結果、 $(A^\nu)=(\boldsymbol{A},\ \phi/c)$である。 ここで、次式の条件が満たされるとすると、上式は簡単になる。 なお、この条件は、実はローレンツ条件である。

$$\partial_m A^m=0$$ (512)

簡単になったポテンシャルの式は次のようになる。

$$\partial_m\partial^m A^n=-\mu_0J^n$$ (513)

$\partial_\mu\partial^\mu=\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2+\partial^2/\partial z^2-\partial^2/\partial(ct)^2$であるから、 この式は、まさに、 ポテンシャルの波動方程式（wave equation of potentials）を相対論的に記述したものである。 ここにいたって、 ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルは独立した概念ではなく、 統合された概念になっていることが理解できよう。 一方、式11.42に代入すると、これは自動的に満たされる。 このように、相対論の世界では、場の式よりも、 ポテンシャルのほうがより簡明な変換を受ける。 前述のように、ポテンシャルのほうがより根源的な場である印象を受ける。 実際、電磁場の変換関係を覚えるよりは、ポテンシャルの変換を行い、 それから電磁場を誘導することを薦める。

また、 $(A^n)=(\boldsymbol{A}, \phi/c)$および $(J^n)=(\boldsymbol{J}, c\rho)$は 四元ベクトルを構成し、それぞれ四元ポテンシャル（four-vector potentail）、 四元電流（four-vector current）と呼ばれる。 座標と同じ変換を受けることも注目してほしい。 例えば、S$'$系に電荷分布$\rho'$のみがあり、それをS系で見ると、 $\rho=\gamma\rho'$と大きく見えることになる。 なお、これはあくまでも、電荷分布についての記述であり、 総電荷量$Q$については、 相対的に移動している系の長さが $\sqrt{1-\beta^2}=1/\gamma$に短縮して見えるため、 不変量となるので、注意してほしい。