ローレンツ力の四元化をしてみよう。
ローレンツ力の式の両辺に
を内積として掛けてみよう。
このように、四元力
を
とすると、ローレンツ力は次にようにまとめることができる。
さて、このテンソルの各成分には電場や磁場の成分が入っているが、
電場や磁場は、相対論の世界では、どうやってもベクトルで表現することができず、
このように
のテンソルになってしまうのである。
この後に現れるポテンシャルが、簡単なベクトルで表されることを考慮すると、
ここでも、ポテンシャルのほうが根源的な量であることを、感じざるを得ない。
電磁場を四元テンソルで表したが、マクスウェル方程式を、
この電磁テンソルを使って表してみよう。
電荷や電流などの源との関連の
式および
式は、
次のようになる。
やや形式的であるが、この式は完全反対称テンソル(antisymmetric tensor)と呼ばれるを使って、 アインシュタイン規約の形で書くことも可能であるが、 これが
のテンソル
であることもあり、必ずしも見やすい形ではなため、あくまでも参考のために示す。
なお、は サフィックスが
のとき1、 サフィックスがこの偶置換で与えられるときも1、奇置換になっているときは
、 その他では0と定義されている。
ローレンツ力の座標変換を考えてみよう。
この際、速度もローレンツ変換されるが、
も変換されるとしないと、うまく行かない。
式11.37の左から順変換係数を掛けると、
左右はローレンツ変換される。
| (505) |
この変換則を利用すると、
の座標変換が計算できる。
![]() |
|||
![]() |
| (506) |
| (507) |
これらの式は、座標の移動方向とそれに垂直な成分に分けることにより、
次のように表すこともできる。
| (508) | |||
| (509) |
次にポテンシャルの四元化を考えてみよう。 式11.40の電磁テンソルをポテンシャルで表現すると、次式のようになる。
| (510) |
| (511) |
また、
および
は
四元ベクトルを構成し、それぞれ四元ポテンシャル(four-vector potentail)、
四元電流(four-vector current)と呼ばれる。
座標と同じ変換を受けることも注目してほしい。
例えば、S
系に電荷分布
のみがあり、それをS系で見ると、
と大きく見えることになる。
なお、これはあくまでも、電荷分布についての記述であり、
総電荷量
については、
相対的に移動している系の長さが
に短縮して見えるため、
不変量となるので、注意してほしい。