一定速度で移動する電荷の作る電磁場

S$'$系で静止した点電荷の作る電場を、 それと相対的に$V$の速度で動いているS系で観測すると、 電場および磁場が観測できるが、それらは次のようにして誘導できる。 まず、S$'$系では、電荷は静止しているので、 スカラーポテンシャルだけが存在し、次のようになる。

$$\frac{\phi(x',y',z',t')}c =\frac{\mu_0cQ}{4\pi}\frac1{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}$$ (514)

これをS系で見ると、スカラーポテンシャルも変換を受けるが、 新たに速度と同じ方向のベクトルポテンシャルも現れてくる。 この場合は$A_x$のみが現れ、$A_y=0$、$A_z=0$である。

$$\frac{\phi(x,y,z,t)}c = \frac{\mu_0cQ}{4\pi}\frac{\gamma}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}} =\frac{\mu_0cQ}{4\pi}\frac{\gamma} {\sqrt{\gamma^2(x-Vt)^2+y^2+z^2}}$$ (515)

$$A_x(x,y,z,t) = \frac{\mu_0cQ}{4\pi}\frac{(V/c)\gamma}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}} =\frac{\mu_0cQ}{4\pi}\frac{(V/c)\gamma} {\sqrt{\gamma^2(x-Vt)^2+y^2+z^2}}$$

この結果、$A_x$は$\phi$に比例していることが分かる。

$$\boldsymbol{A}(x,y,z,t)=\frac{\boldsymbol{V}}c\frac{\phi(x,y,z,t)}c$$ (516)

電場、磁場はこれらポテンシャルから計算するのがよい。

$$\frac{\boldsymbol{E}}c= -\mathop{\emph ▽}\nolimits \frac\phi c -\frac{\partial}{c\partia... ...amma}{4\pi}\frac{\left(x-Vt,\ y,\ z\right)} {\sqrt{\gamma^2(x-Vt)^2+y^2+z^2}^3}$$ (517)

$$\boldsymbol{B}= \mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{A}=\frac{\mu_0cQ\gamma(V/c)}{4\pi} \frac{\left(0,\ -z,\ y\right)}{\sqrt{\gamma^2(x-Vt)^2+y^2+z^2}^3}$$ (518)

この $\boldsymbol {B}$は次のようにしても計算できる。 ここで、 $\partial\boldsymbol{A}/\partial t$の項は $\boldsymbol{V}$との外積で消えることを利用している。

$$\boldsymbol{B}=\mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{A}=\... ...times\frac{\boldsymbol{V}}c =\frac{\boldsymbol{V}}c\times\frac{\boldsymbol{E}}c$$ (519)

上式で示した電場は $(Vt,\ 0,\ 0)$を中心にして、 放射状の形状をしている。 つまり、電荷の現在位置から放射状になっている。 また、$E_x$は$E_y$、$E_z$と比較して、$1/\gamma$だけ弱い。 つまり、電気力線は$x$方向に扁平となっている。 なお磁場は$x$を軸として回転的である。