リエナール・ウィーヘルトポテンシャル

任意の運動をしている電荷の作るポテンシャルを求めておこう。 電荷$Q$が$t'$のときに出した電磁場は、それから光速$c$で伝わっていき、 観測点では別の時刻$t$に感じることになる。 電荷$Q$から見た観測点の位置ベクトルを $\boldsymbol{R}(t)=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'(t)$とすると、

$$ct'+R(t')=ct$$ (520)

が成立する。

まず、時刻$t'$で粒子が静止して見えるような系を考えよう。 すると、観測点$t$で観測されるポテンシャルは次式で与えられる。

$$\frac\phi c = \frac1{4\pi\varepsilon_0c}\frac Q{R(t')} =\frac{\mu_0c}{4\pi}\frac Q{c(t-t')}$$

$$\boldsymbol{A} =$$ 0

ここで第二の等号は式11.60を利用している。 次に$Q$が速度 $\boldsymbol{v}$で動いているように見える系へ変換してみよう。 それには上式の$\phi$を四元ベクトルとして記載するのがよい方法である。

$$A^\nu=\frac{\mu_0c}{4\pi} \frac{Qv^\nu}{-\left(\sum_\mu R_\mu v^\mu\right)}$$ (521)

ただし、$R_\mu$は、四元ベクトル $(R^\mu)=(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}', c(t-t'))$ を降階したものである。

これを $\boldsymbol{A}$と$\phi$に分解して記載すると、次式が得られる。

$$\frac\phi c = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Qc}{R-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{R}/c}$$

$$\boldsymbol{A} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Q\boldsymbol{v}}{R-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{R}/c}$$ (522)

これをリエナール・ウィーヘルトポテンシャル（Lienard-Wiechert potential）といい、 任意の軌跡を描いて運動している電荷の作るポテンシャルである。

この例に見られるように、相対論ではしばしば、古典的物理量を変更して、 正しく座標変換されるように調整することにより、 四元ベクトルや四元テンソルを得ることが多いので、慣れてほしい。