誘導起電力

第7章で述べた誘導起電力（induced electromotive force）とは、 導体を磁場中で動かすと、導体上に起電力が発生するという現象であるが、 この現象は相対性原理を用いると簡単に理解することができる。 磁場があるところ、あるいはその周辺には、ベクトルポテンシャルがある。 仮に磁場が時間変動がなく、ベクトルポテンシャルが時間変動していなくても、 導体が空間的に変動するベクトルポテンシャル中を移動すると、 導体の感じるベクトルポテンシャルは時間的に変動する。

今、 $(x,y,z,t)$系で固定されたベクトルポテンシャルを考え、 そこを$x$軸方向に$V=v$で走っている導体を考えよう。 この導体とともに動いている系の座標を $(x', y', z', t')$とする。 $x=\gamma(x'+vt')$、$y=y'$、$z=z'$、 $t=\gamma(t'+vx')$が成立する。 走っている導体上では、 $\boldsymbol{A}'$も時間変化し、 さらに、S系では観測されなかった$\phi'$も現れてくる。 この結果 $\boldsymbol{E}'$が観測されるようになる。

$$E_x' = -\D{\phi'}{x'}-\D{A'_x}{t'} =-\gamma\D{(\phi-vA_x)}{x'}-\gamma\D{(A_x-v\phi)}{t'} =\gamma v\D{A_x}{x'}-\gamma\D{A_x}{t'}$$

$$= \gamma v\D{A_x}x\D x{x'}+\gamma v\D{A_x}y\D y{x'} +\gamma v\D{A_x}z\D z{x'}$$

$$-\gamma\D{A_x}x\D x{t'}-\gamma\D{A_x}y\D y{t'} -\gamma\D{A_x}z\D z{t'}-\gamma\D{A_x}t\D t{t'}$$

$$= \gamma^2v\D{A_x}x-\gamma^2v\D{A_x}x=0$$ (523)

$$E_y' = -\D{\phi'}{y'}-\D{A'_y}{t'} =-\gamma\D{(\phi-vA_x)}{y'}-\D{A_y}{t'} =\gamma v\D{A_x}{y'}-\D{A_y}{t'}$$

$$= \gamma v\D{A_x}x\D x{y'}+\gamma v\D{A_x}y\D y{y'} +\gamma v\D{A_x}z\D z{y'}$$

$$-\D{A_y}x\D x{t'}-\D{A_y}y\D y{t'} -\D{A_y}z\D z{t'}-\D{A_y}t\D t{t'}$$

$$= \gamma v\D{A_x}y-\gamma v\D{A_y}x=-\gamma vB_z$$ (524)

同様にして、 $E_z'=\gamma vB_y$が導かれ、 $\boldsymbol{E}'=\gamma\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$が示される。 非相対論的速度の場合には$\gamma=1$と見なせるので、 誘導起電力の式と一致する。