物質のある場合の相対論

物質がある場合、式11.41の右辺の全電流（および全電荷）$J^n$は 自由電流（および自由電荷）$J_f^{\ i}$と 束縛電流（および束縛電荷）$J_b^{\ i}$から構成される。 第5章より、束縛電流は $\mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{M}+\partial\boldsymbol{P}/\partial t$、 束縛電荷は $-\mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{P}$で与えられる。 $J_f^{\ i}$も$J_b^{\ i}$も四元ベクトルであるが、 特に束縛電流は $\boldsymbol{M}$や $\boldsymbol{P}$といった他の量から導かれるものであるので、 束縛四元電流は四元テンソルの微分で与えられる可能性が高い。

$\mathop\emph{\text{div}}\nolimits (\varepsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P})=\rho_f$（式5.12）、 $\mathop\emph{\text{rot}}\nolimits (\boldsymbol{B}/\mu_0-\boldsymbol{M})-\partial(\varepsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P})/ \partial t=\boldsymbol{J}_f$（式5.23） から類推できるように、このテンソルは電磁テンソルと形が似ているはずである。 結論を記載すると、まず磁化テンソル（magnetization tensor）を式11.40に似せて、 以下のように定義する。

$$(M^{ij})=\left(\begin{array}{cccc} 0 & M_z & -M_y & cP_x \\ -M_z ... ...& cP_y \\ M_y & -M_x & 0 & cP_z \\ -cP_x & -cP_y & -cP_z & 0 \end{array}\right)$$ (525)

ここで、各成分中、$B_n$には$M_n$が対応しているが、 $E_n/c$には$-cP_n$が対応している点に注意してほしい。 この磁化テンソルを用いると、 $J_b^{\ n}=\partial_m M^{nm}$となり、次式が誘導される。

$$\partial_m(B^{nm}-\mu_0M^{nm})=\mu_0 J_f^{\ n}$$ (526)

なお、本質的な変形ではないが、

$$H^{nm}=\frac{B^{nm}}{\mu_0}-M^{nm}$$ (527)

により、副電磁テンソル（sub-electromagnetic tensor）を定義すると、

$$\partial_m H^{nm}=J_f^{\ m}$$ (528)

とさらに簡単に表現できる。 いずれにせよ、 $\mathop\emph{\text{rot}}\nolimits \boldsymbol{E}$式と $\mathop\emph{\text{div}}\nolimits \boldsymbol{B}$式は物質の影響を受けないので、 式11.42はそのまま成立する。

本節でいくつかの四元ベクトルやテンソルを紹介したが、 これらはいずれも相対論的座標変換を受ける。 例えば、磁化テンソルも電磁テンソルと同じ変換を受ける。 したがって、相対的に移動している座標では、次のように変換される。

$$\boldsymbol{M}'_{\Vert} = \boldsymbol{M}_{\Vert}$$

$$\boldsymbol{M}'_{\bot} = \gamma\left(\boldsymbol{M}+\frac{\boldsymbol{v}}c\times c\boldsymbol{P}\right)_{\bot}$$ (529)

$$c\boldsymbol{P}'_{\Vert} = c\boldsymbol{P}_{\Vert}$$

$$c\boldsymbol{P}'_{\bot} = \gamma\left(c\boldsymbol{P}-\frac{\boldsymbol{v}}c\times\boldsymbol{M}\right)_{\bot}$$ (530)

ここで、分極 $\boldsymbol{P}$を動く系から観測してみよう。 $\boldsymbol{M}=\boldsymbol{0}$と置くと、 $\boldsymbol{P}'$は若干変化するが、 新たに $\boldsymbol{M}'=\gamma(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{P})_{\bot}=\gamma\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{P}_\bot$なる磁化が生じることがわかる。 分極により生じた正負の電荷が $-\boldsymbol{v}$の方向へ移動するので、 結果的に電流が流れ、磁化となるのである。

次に磁化 $\boldsymbol{M}$を動く系から観測してみよう。 $\boldsymbol{P}=\boldsymbol{0}$と置くと、 $\boldsymbol{M}'$は若干変化するが、 新たに $\boldsymbol{P}'=-\gamma(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{M}/c^2)_{\bot}=-\gamma\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{M}_\bot/c^2$なる分極が生じることがわかる。 つまり、磁石を動かすと分極が発生することになり、 結果として電場が発生することが導かれる。 ちょっと意外な結論である。 これについては、12.3節で、改めてその本質について述べる。