マクスウェルの量方程式

次に力の式から、これらと矛盾しないマクスウェルの方程式を誘導しておこう。

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \emph E = \frac\alpha{\varepsilon_0}\rho$$ (12.18)

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph E = -\frac1\gamma\D{\emph B}t$$ (12.19)

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \emph B =$$ 0 (12.20)

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph B = \alpha\mu_0 +\frac{\mu_0\varepsilon_0}\gamma\D{\emph E}t$$ (12.21)

ただし、J' は対称電流の電流密度である。

電荷や電流の項についた係数は、容易に想像できるように、 MKSA 単位系の力の式の $1/\varepsilon_0\rightarrow\alpha/\varepsilon_0$、 $\mu_0\rightarrow\alpha\mu_0$ から得られる。

式12.21の電場の時間微分の係数は変位電流の考えから得られる。 変位電流とは電流連続の式12.16の微分形である

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits +\frac1\gamma\D\rho t=0$$ (12.22)

と矛盾しないように導入された概念である。 この式の $\rho$ を式12.18で置き換え、 全体に $\alpha\mu_0$ を掛けると、

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \left(\alpha\mu_0\mbox{\emph J'} +\frac{\varepsilon_0\mu_0}\gamma\D{\emph E}t\right)=0$$ (12.23)

が得られる。 この括弧内は式12.21の右辺である。 確かに式12.21の $\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits$ は、左辺が 0 となるので、 矛盾しない。

こうした式に矛盾しない形で、ローレンツ力（Lorentz force）の式も示しておこう。

$$\emph F=Q\left(\emph E+\frac1\gamma\emph v\times\emph B\right)$$ (12.24)

さらにポテンシャル関連の式は次のようになる。

$$\emph E = -\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits }\nolimits \phi-\frac1\gamma\D{\emph A}t$$ (12.25)

$$\emph B = \mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \times}\nolimits \emph A$$ (12.26)

$$\mathop{\emph ▽}\nolimits ^2\phi-\frac{\varepsilon_0\mu_0}{\gamma^2}\D{^2\phi}{t^2} = -\frac\alpha{\varepsilon_0}\rho$$ (12.27)

$$\mathop{\emph ▽}\nolimits ^2\emph A-\frac{\varepsilon_0\mu_0}{\gamma^2} \D{^2\emph A}{t^2} = -\alpha\mu_0$$ (12.28)

$$\mathop{\mathop{\emph ▽}\nolimits \cdot}\nolimits \emph A+\frac{\varepsilon_0\mu_0}\gamma\D\phi t =$$ 0 (12.29)

ここまでの式を見ると、 $\varepsilon_0$、$\mu_0$ は独立には現われず、 $\varepsilon_0/\alpha$、 $\alpha\mu_0$ と $\alpha$ と組になって現われる。 ただし、 $\varepsilon_0\mu_0$ は $(\varepsilon_0/\alpha) (\alpha\mu_0)$ と書換えられることに注意して欲しい。

式12.21の電場の時間微分の係数と、 電磁誘導の式12.19の右辺の係数の積は、電磁波の速度、つまり $1/c^2$ になることがわかっている。 このことから後者の係数は $1/\gamma$ でなければならない。 確かにそうすると次式が成立するが、非対称系であると $\{\mu_0\} \{\varepsilon_0\}$ が $1/\{c\}^2$ となり、対称系であると $1/\{\gamma\}^2$ が $1/\{c\}^2$ となるので、納得できよう。

$$\frac{\mu_0\varepsilon_0}{\gamma^2}=\frac1{c^2}$$ (12.30)

つまり、 $\varepsilon_0/\alpha$、 $\alpha\mu_0$、$\gamma$ の三つの定数のうち二つを自由に決めることができる。

また、ポテンシャルの時間の二階微分につく係数は $1/c^2$ であり、 ローレンツ条件の一時微分の係数は $\gamma/c^2$ となる。

以上の方程式を使うと、 磁荷、電流、電荷、電圧といった電磁気学の基本単位（base unit）は決定できるが、 後にわかるように、これら二つの自由度の結果、(電流 or 磁束) と (電荷 or 電圧) の二つの単位を自由に選ぶことができ、 他の二つはこれらから誘導できることになる。

例えば、電流と電圧を独立に決定することができる。 さらに、$\gamma$ の値は 1 or c なので、 これを 1 と定めると、自由度は一つとなり、 例えば MKS 以外に電流だけを定めればすべてが決定されることになる。 これが MKSA の第4基本単位が A になる由来である。