単位の換算

二つの単位系の間の単位の換算の仕方について統一的に扱おう。定数 $\alpha\mu_0$ と $\varepsilon_0/\alpha$ を MKSA 単位系と任意の単位系で以下のように定める。また、{　} {　}_ はそれぞれの単位系での数値を表している。

$\displaystyle \alpha\mu_0$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{\alpha\mu_0\}$ Wb/A'm $\displaystyle =\{\alpha\mu_0\}\_$ Wb/A' $\displaystyle \mbox m\_$	(12.48)
$\displaystyle \varepsilon_0/\alpha$	$\textstyle =$	$\displaystyle \{\varepsilon_0/\alpha\}\mbox{ C/V m} =\{\varepsilon_0/\alpha\}\_\mbox{ C}\_/\mbox V\_ \mbox m\_$	(12.49)

また、積がエネルギーになることから、次の各式が成立する。

$\displaystyle 1$ A'	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{\frac{\{\alpha\mu_0\}\ \mbox{ J/m}\quad} {\{\alpha\mu_0\}\_\mbox{ J\_/m\_}}}\mbox{ A'\_}$	(12.52)
$\displaystyle 1$ Wb	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{\frac{\{\alpha\mu_0\}\_\,\mbox{ Jm}} {\{\alpha\mu_0\}\mbox{ J\_m\_}}}\mbox{ Wb\_}$	(12.53)
$\displaystyle 1$ C	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{\frac{\{\varepsilon_0/\alpha\}\_\,\mbox{ Jm}} {\{\varepsilon_0/\alpha\}\mbox{ J\_m\_}}}\mbox{ C}\_$	(12.54)
$\displaystyle 1$ V	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{\frac{\{\varepsilon_0/\alpha\}\ \mbox{ J/m}\quad} {\{\varepsilon_0/\alpha\}\_\,\mbox{ J\_/m\_}}}\mbox{ V}\_$	(12.55)

例えば、ガウス単位系との換算則を求めて見よう。 MKSA 単位系では $\{\alpha\}=1$ 、 $\{\mu_0\}=4\pi10^{-7}$ 、 $\{\varepsilon_0\}=10^7/4\pi\,\{c\}_{\mbox M}^2$ であるので、 $\{\alpha\mu_0\}=4\pi10^{-7}$ 、 $\{\varepsilon_0/\alpha\}=10^7/4\pi\,\{c\}_{\mbox M}^2$ である。これに対して、ガウス単位系では $\{\alpha\}_{\rm gs}=4\pi$ 、 $\{\mu_0\}_{\rm gs}=1$ 、 $\{\varepsilon_0\}_{\rm gs}=1$ であるので、 $\{\alpha\mu_0\}_{\rm gs}=4\pi$ 、 $\{\varepsilon_0/\alpha\}_{\rm gs}=1/4\pi$ である。これらを上の各式に代入し、1 m=100 cm、1 J=

erg に留意すると、 1 A'=0.1 A' $_{\rm gs}$ 、1 Wb=10

Wb $_{\rm gs}$ 、 1 C= $\{c\}/10$ C $_{\rm gs}$ 、1 V=1/300 V $_{\rm gs}$ が得られる。

もちろん、上述の議論は、片方を MKSA 単位系に限る必要はない。任意の二つの単位系間の換算で、同じ手法が利用できる。すべての単位系間の換算の結果を表12.3に示す。ただし、すべての単位が電磁単位系をかなめに構成されてきたため、その数値を 1 になるようにする方が、表が簡潔になるので、そのようにした。ドルの換算レートをドル/円でなく、円/ドルで表わすようなものである。

Table 12.3: 定数と基本単位の換算表 ( $\{c\}$ 、 $\{c\}_{\mbox M}$ は CGS、MKS 単位系での光速値約 $3\cdot 10^{10}$ 、 $3\cdot 10^8$ )

単位系

電磁

静電

Gauss

Lorentz

MKSA

単位

なし

$\alpha$

$4\pi$

U_ (無次元)

$\gamma$

$\{c\}$

	R_=C_/A'_s_
	=Wb_/V_s_

$\alpha\mu_0$

$4\pi$

$4\pi/\{c\}^2$

$4\pi$

$4\pi10^{-7}$

Wb_/A'_m_

$\varepsilon_0/\alpha$

$1/4\pi\{c\}^2$

$1/4\pi$

$10^7/4\pi\,\{c\}_{\mbox M}^2$

C_/V_m_

電流

$\{c\}$

$\sqrt{4\pi}$

A'_

磁束 $\Phi$

$1/\{c\}$

1/ $\sqrt{4\pi}$

10 $^{-8}$

Wb_

電荷

$\{c\}$

$\sqrt{4\pi}\{c\}$

電位 $\phi$

$1/\{c\}$

$1/\sqrt{4\pi}\{c\}$

10 $^{-8}$

この表の数値は基本的に電磁単位系なので、 CGS 単位系であることに留意して基本単位の数値を見てみよう。電流と磁束の積、電荷と電圧の積の値は、MKSA 単位系では $10^{-7}$ (J)、 CGS 単位系では 1 (erg) となっている。

また、電荷/(電流時間)、磁束/(電圧時間) の値は MKSA 単位系、静電単位系、電磁単位系でいずれも $1/\{c\}$ 、ガウス単位系、ローレンツ単位系ではいずれも 1 である。前者はガウス単位系を基準にしているので、CGS 単位系の 1/光速値である。このことさえ知っていれば、電流の換算値というごく少い知識から、すべての基本単位の換算値を誘導できる。

実は、どんな単位系でも、力学的な長さ、質量、時間の単位以外に、電気的な単位を最低一つ導入することにより、すべての電磁気学の単位を決めることができるのである (厳密には $\gamma$ も必要である)。 MKSA 単位系の A とは、MKS 単位系に電流単位 A (それと 1 の値を持つ $\gamma$ ) を付け加えることにより、すべての電磁気学の単位系を構成できることを示している。

練習として、光速、プランク定数 (厳密には $h/2\pi$ )、重力定数 (厳密には 8 $\pi G$ )、 $\varepsilon_0$ 、 $\mu_0$ 、 $\alpha$ 、をすべて 1 とする 自然単位系（natural units）について作業をしてみよう。この単位の場合、長さ、質量、時間の単位が MKS 単位系とも CGS 単位系ともすべて異なる。この単位の長さ、質量、時間の単位を m $_{\rm pk}$ 、kg $_{\rm pk}$ 、 s $_{\rm pk}$ としよう。すると以下の関係が成立する。

$\displaystyle c$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{c\}$ m/s $\displaystyle =1$ $\displaystyle \mbox{ m$_{\rm pk}$/s$_{\rm pk}$}$	(12.56)
$\displaystyle \hbar$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{h\}/2\pi$ $\displaystyle \mbox{ kg m$^2$/s}$ $\displaystyle =1$ $\displaystyle \mbox{ kg$_{\rm pk}$m$ _{\rm pk}$$^2$/s$_{\rm pk}$}$	(12.57)
$\displaystyle 8\pi G$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 8\pi\{G\}$ $\displaystyle \mbox{ m$^3$/kg s$^2$}$ $\displaystyle =1$ $\displaystyle \mbox{ m$_{\rm pk}^3$/kg$_{\rm pk}$s$_{\rm pk}^2$}$	(12.58)

$\displaystyle 1$ m $\displaystyle _{\rm pk}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{4\{h\}\{G\}/\{c\}^3}$ m $\displaystyle =8.1\cdot10^{-35}$ m	(12.59)
$\displaystyle 1$ kg $\displaystyle _{\rm pk}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{\{h\}\{c\}/8\pi\{G\}}$ kg $\displaystyle =1.08\cdot10^{-8}$ kg	(12.60)
$\displaystyle 1$ s $\displaystyle _{\rm pk}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{4\{h\}\{G\}/\{c\}^5}$ s $\displaystyle =2.7\cdot10^{-43}$ s	(12.61)

電磁気学の単位については、 $\{\alpha\}$ 、 $\{\mu_0\}$ 、 $\{\varepsilon_0\}$ 、に加え、光速値までもが 1 なので、 $\{\gamma\}$ まで 1 になることになる。これ以後の換算については、読者の課題としたい。

$\displaystyle 1$ A'Wb/J	$\displaystyle =$	$\displaystyle 1$ A'/J	(12.50)
$\displaystyle 1\mbox{ C V/J}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 1\mbox{ C\_V\_/J\_}$	(12.51)