基底展開と成分

「任意の状態 $\psi$ を、分波器で分解し、合成器で再び合成すると、 再び $\psi$ となる」ことを、前節では、次のように表した。

$$\left\langle\left.\chi\right\vert\psi\right\rangle =\left\l... ...\right\rangle \left\langle\left.y\right\vert\psi\right\rangle$$

これを、もっと直接的に、次のように表してみよう。

$$\left\vert\psi\right\rangle =\left\vert x\right\rangle \lef... ...\rangle \left\langle\left.y\right\vert\psi\right\rangle %e5$$ (2.5)

この式は、上の式の両辺から、形式的に $\left\langle\chi\right\vert$ を落としただけの 形になっているが、もう少し面白い解釈が可能である。 状態 $\psi$ を分波すると、$x$ 偏光状態を $\left\langle\left.x\right\vert\psi\right\rangle$ の 確率振幅で、$y$ 偏光状態を $\left\langle\left.y\right\vert\psi\right\rangle$ の確率振幅でとる。 さらに逆に、この二つの状態を合成すると、状態 $\psi$ になる。

つまり「状態 $\psi$」は「状態 $x$ を確率振幅 $\left\langle\left.x\right\vert\psi\right\rangle$ でとり、かつ $y$ を $\left\langle\left.y\right\vert\psi\right\rangle$ でとる状態」と、 等価であると考えられる。

任意の状態は、このように、基底状態をとる確率振幅の組で表す、あるいは 展開(expansion)することができる。 その様子は、ちょうど、任意のベクトル(vector)を直行展開して、成分の組で 表すことと似ている。 図2.6に示すように、 $\left\vert\psi\right\rangle$ を任意のベクトルに 対応させ、 $\left\vert x\right\rangle$、 $\left\vert y\right\rangle$ を直行する二つの 基底ベクトル(base vectors)に対応させると、 $\left\vert\psi\right\rangle$ は、 $\left\vert x\right\rangle$ 方向の長さ $\left\langle\left.x\right\vert\psi\right\rangle$ のベクトルと、 $\left\vert y\right\rangle$ 方向の 長さ $\left\langle\left.y\right\vert\psi\right\rangle$ のベクトルの、和で与えられる。 この意味で、状態 $\psi$ は、ベクトル $\psi$ とも呼ばれ、 $\left\langle\left.x\right\vert\psi\right\rangle$ と $\left\langle\left.y\right\vert\psi\right\rangle$ は $\psi$ の 成分(component)とも呼ばれる。 このように、量子力学の諸計算は、ベクトル空間の諸計算と完全に 対応をとることができる。

図 2.6: 状態 $\psi$ の基底状態による展開

問題2..5 $\theta$ 偏光状態 $\left\vert\theta\right\rangle$ を、$x$ 偏光状態 $\left\vert x\right\rangle$ と $y$ 偏光状態 $\left\vert y\right\rangle$ により、展開せよ。

ヒント 問2.2

答え $\qquad \left\vert\theta\right\rangle =\left\vert x\right\rangle \cos\theta+\left\vert y\right\rangle \sin\theta$

問題2..6 $\left\vert\theta+90^\circ\right\rangle$ を、 $\left\vert x\right\rangle$、 $\left\vert y\right\rangle$ で展開せよ。

答え $\qquad \left\vert\theta+90^\circ\right\rangle =-\left\vert x\right\rangle \sin\theta +\left\vert y\right\rangle \cos\theta$

問題2..7

$x$ 偏光と $y$ 偏光を、位相を $90^\circ$ ずらして重合わせると、 円偏光(circular polarization)と呼ばれる偏光が得られる。 右旋円偏光は、 $\left\vert R\right\rangle =(\left\vert x\right\rangle +i\left\vert y\right\rangle )/\sqrt2$ で 与えられることが知られているが $\left\langle\left.x\right\vert R\right\rangle$、 $\left\langle\left.y\right\vert R\right\rangle$ を求めよ。

ヒント 展開式の形が与えられているときに、それより成分を得るには、 公式2.5と比較して、係数の比較をしてもよいが、展開式の 左から両辺に、 $\left\langle x\right\vert$ または $\left\langle y\right\vert$ を掛け、直交性を 利用するのが簡単である。

答え $\qquad \left\langle\left.x\right\vert R\right\rangle =1/\sqrt2,\quad \left\langle\left.y\right\vert R\right\rangle =i/\sqrt2$

$\left\langle\left.\quad\right\vert\quad\right\rangle$ は、ディラック(Dirac)が導入した 記号であるが、彼は、これをブラケット(bracket)と呼び、この記号を 分解した $\left\langle\quad\right\vert$ と $\left\vert\quad\right\rangle$ を、それぞれウィットに 富んだ呼び方で、ブラベクトル(bra vector)と、ケットベクトル(ket vector)と 名付けた。 このケットベクトルは、ベクトル空間のベクトル (縦ベクトル(column vector)) に 対応し、ブラベクトルは、ベクトルの転置複素共役をとった、 共役ベクトル(adjoint vector) (横ベクトル(row vector)) に対応する。 例えば、二次元のベクトル空間で、任意のベクトル $\mbox{\boldmath${a}$}$ の $x$ 成分と $y$ 成分を、$a_x$、$a_y$ とすると、ベクトル $\mbox{\boldmath${a}$}$ を、$x$、$y$ 方向の単位ベクトル(unit vector) $\mbox{\boldmath${e}$}_x$、 $\mbox{\boldmath${e}$}_y$ で展開すると、次のように表すことができる。

$$\mbox{\boldmath${a}$}=\mbox{\boldmath${e}$}_x a_x+\mbox{\boldmath${e}$}_y a_y$$

$a_x$、$a_y$ が、 $\mbox{\boldmath${a}$}$ と $\mbox{\boldmath${e}$}_x$、 $\mbox{\boldmath${e}$}_y$ との 内積(inner product)、 $(\mbox{\boldmath${e}$}_x\cdot\mbox{\boldmath${a}$})$、 $(\mbox{\boldmath${e}$}_y\cdot\mbox{\boldmath${a}$})$ で与えられることを考えると、次のようになるが、これは丁度、 式2.5と対応する。

$$\mbox{\boldmath${a}$}=\mbox{\boldmath${e}$}_x(\mbox{\boldma... ...{e}$}_y(\mbox{\boldmath${e}$}_y\cdot\mbox{\boldmath${a}$}) %e6$$ (2.6)

無論、ここで、内積は $\left\langle\left.\quad\right\vert\quad\right\rangle$ に対応すると考える。 また、ベクトル $\mbox{\boldmath${b}$}$ と $\mbox{\boldmath${a}$}$ の内積は、 $\mbox{\boldmath${b}$}$ の共役 ベクトルと $\mbox{\boldmath${a}$}$ の積で、与えられるから、次のように変形できる。

$$(\mbox{\boldmath${b}$}\cdot\mbox{\boldmath${a}$})=\mbox{\boldmath${b}$}^\dagger\mbox{\boldmath${a}$}=b_x^*a_x+b_y^*a_y %e7$$ (2.7)

この式は、式2.2の $\left\langle\left.\chi\right\vert x\right\rangle$、 $\left\langle\left.\chi\right\vert y\right\rangle$ を、式2.4で $\left\langle\left.x\right\vert\chi\right\rangle ^*$、 $\left\langle\left.y\right\vert\chi\right\rangle ^*$ にした式と、 対応する。

基底条件の直交性を示す式2.1は、単位ベクトルの 正規直交性に対応する。また、式2.2は、 前述のように、ベクトルの内積の定義と、展開可能性を示している。 さらに、式2.3は、我々の扱う状態ベクトルが、長さ 1 の ベクトルであることを示し、式2.4は、縦ベクトルと横 ベクトルの、入れ替えに対応する複素共役性を示している。 以上のように、今まで出てきた式はすべて、複素ベクトル空間に対する各式と、 対応をとることができ、さらに、これから出てくる式も、すべて 対応がとれることを、覚えておいて欲しい。

したがって、量子力学の理論は、ベクトルを扱う線型代数学(linear algebra)と、 完全に同一となり、数学的に美しい体系を形成する。 しかし、その数学的美しさにのみ目を奪われることなく、物理の本質を 見極めてほしい。 とは言っても、量子力学の理論が、物理のすべてを解き明かしていると、 過信してはならない。 電子の存在確率が、時々刻々どのように変化していくか、の計算手段は 与えても、何故、電子の存在が確率的になるのか、何故、干渉性が現れるか、 については、何ら答えを用意していないのである。 量子力学は、従って、計数性と干渉性の両立することを、前提として、その 原因には立ち入らずに、築かれた理論であることを、改めて再認識してほしい。

ベクトル空間論では、行列という大事な概念がある。行列(matrix)は、 ベクトルに作用して、別のベクトルを作り出す (実は、線形な変換のみを 行っているのであるが、線型という概念は、おいおい分かってくるので、 ここでは特に触れない)。 例えば、行列を $A$ と表すと、 $A\mbox{\boldmath${a}$}$ は、別のベクトルになる。 一番簡単な行列は、単位行列と呼ばれ (行列の対角要素がすべて 1 で他は 0 の行列)、どんなベクトルに作用しても、そのベクトルと同じベクトルを、 作り出す。 行列に対応して、量子力学では、オペレータ(operator)と言う概念がある。 一口で言うと、状態を、別の状態に変えるものである。 一番簡単なものは、単位行列に対応する、単位オペレータ(unit operator)である。 単位オペレータというと、大げさであるが、任意の状態に作用して、 元と同じ状態にする、つまり何もしないオペレータである。

前節の、図2.2で、分波した光を再合成すると、 何もしないのと同じになる、と言ったが、これが、まさに単位 オペレータである。単位オペレータを、$\widehat{I}$ と表す (identity、同じの 意味)。 `` $\widehat{\}$'' は、ただの数と区別するために、つけたもので、 ハット(hat)と呼ぶ。 式2.2 を見ると、分解して合成する作業は、 $\left\vert x\right\rangle \left\langle x\right\vert+\left\vert y\right\rangle \left\langle y\right\vert$ で、表されている。 従って、次式が成立する。

$$\left\vert x\right\rangle \left\langle x\right\vert+\left\vert y\right\rangle \left\langle y\right\vert=\widehat{I}$$

基底状態が、もっと数多くある場合は、 $\left\vert j\right\rangle$ をすべての 基底状態として、次のように拡張できる。

$$\sum_{all\ j}\left\vert j\right\rangle \left\langle j\right\vert=\widehat{I} %e8$$ (2.8)

つまり、任意の状態を、あらゆる基底状態に分解し、再合成すると、もとの 状態に戻り、何もしなかったことになることを示している。

式2.8の $\widehat{I}$ を、 $\left\langle\chi\right\vert\widehat{I}\left\vert\psi\right\rangle = \left\langle\left.\chi\right\vert\psi\right\rangle$、あるいは、 $\widehat{I}\left\vert\psi\right\rangle = \left\vert\psi\right\rangle$ へ代入すると、式2.2や、 式2.5の一般形となる。 つまりこの式は、基底状態の完備性を表す別の表現形、と言える。 この表現は、極めて便利であり、例えば、状態と状態の内積の間に、 $\widehat{I}$、つまり $\sum\left\vert j\right\rangle \left\langle j\right\vert$ を、挿入すると、直ちに、 成分と成分で表した内積の表現を得ることができる。

$$\left\langle\left.\chi\right\vert\psi\right\rangle =\left\l... ...ght\rangle \left\langle\left.j\right\vert\psi\right\rangle %e9$$ (2.9)